競争的研究費の研究課題 - 田村　明久

大規模離散最適化問題に対する劣モジュラ的構造に基づく高速アルゴリズムの基礎研究

2001年

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2003年

大阪大学, 藤重 悟、田村 明久, 高畑 貴志, 牧野 和久, 基盤研究(B), 補助金,  研究分担者

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社会システムや産業活動に関係して現れる生産計画,環境計画,最適配送計画,スケジューリング,最適投資などを始めとする重要な問題の多くは,大規模かつ離散構造を有するシステムの最適化問題として捉えられる.本研究では,離散最適化問題の有用な構造的性質の抽出,および,その性質に基づいた高速アルゴリズム開発に主眼をおき,最適化分野における基礎理論の構築を試み,研究に取り組んだ.活発な研究活動の結果,新しい離散構造の発見や新しい効率的なアルゴリズムの開発などの多くの成果を得た.主要な成果としては,以下のものが挙げられる.
1.ネットワークのカット関数の劣モジーラ性に基づき,フロー要求条件を満足する供給施設の最適配置問題の効率的アルゴリズムを示した.
2.新しい最大2部マッチングアルゴリズム及び最大隣接順序に基づく新しい最大フローアルゴリズムを提案した.
3.劣モジュラ関数最小化のためのメンバシップ・オラクルに基づく0(n^2)アルゴリズムを提案し,劣モジュラ関数最小化問題への新しいアプローチを示した.
4.経済学における祖代替性と離散凹性の等価性を明らかにし,離散凹効用関数を用いてGale-Shapleyの安定マッチングの概念を拡張し,その安定解の存在を構成的に示した。
5.劣モジュラ構造の基本である基多面体の概念を一般化した複基多面体の概念を創出し,劣モジュラ構造の新しい枠組みを提示した.
6.単調線形システムの極小整数解を列挙する逐次擬多項式時間アルゴリズムを示した.
7.極大頻出集合の列挙が計算量的に難しいこと,ならびに,極小非頻出集合列挙が多項式時間で可能であることを示した.
8.ホーン理論とqホーン理論に対する関数従属性が効率よく求められることを示した.
9.単調論理関数の非双対性判定がo(log n)の推定ビットで可能であることを示した.また,様々な部分クラスの双対化問題を多項式時間で解くことが可能であることを示した.
10.データ解析手法として,データの本質を表す属性集合を求めるアルゴリズムを提案した.また,不完全なデータを説明する問題への拡張に対して,不完全性の度合いを考慮した4つの拡張を提案し,構造的性質,ならびに,計算量的性質を明らかにした.

離散凸解析の応用開拓の研究

2000年

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2002年

京都大学, 室田 一雄、田村 明久, 松浦 史郎, 松井 知己, 降旗 大介, 塩浦 昭義, 基盤研究(B), 補助金,  研究分担者

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本研究課題の主題,研究代表者が1990年代の中頃から提唱している離散凸解析の応用開拓である.本研究課題では下記に挙げた研究成果を得ることが出来た.いずれの研究成果も査読つき国際会議や学術雑誌に採択されている.
(1)数理経済学において,離散凸解析の応用研究として3つの成果を上げた.第1の成果は,複数の不可分財と貨幣からなる市場において競争均衡が存在するための十分条件を与えるなど,理論構築を行なった.第2の成果は,離散凸解析のおいて中心的役割をなすM凸関数の新しい特徴付けを与えた.この特徴付けは,数理経済学では良く知られた粗代替性や単改良性を用いたものである.第3の成果は,先に述べた不可分財と貨幣からなる市場において,競争均衡を求めるアルゴリズムの開発である.このアルゴリズムは,離散凸解析における最適化問題の一つであるM凸劣モジュラ流問題を利用したもので,多項式時間で均衡の存在判定を行ない,均衡が存在する場合はその一つを求める.
(2)離散凸解析において中心的な役割を果たすM凸関数の最小化問題に対する近接定理を示すとともに,高速なアルゴリズムを開発した.
(3)工学システムのもつ組合せ構造を離散凸解析の立場から論じた.特に,電気回路や制御システムの取扱いを目的として,混合多項式行列を考察し,効率的な組合せ緩和アルゴリズムを提案した.
(4)オペレーションズ・リサーチの諸問題に対し,離散凸解析の結果を利用した解法が適用可能か否かを検証した.その結果を踏まえて,ネットワークデザインや最大カット問題に対して効率的な解法を提案した.

双向グラフに対する最適化問題とその応用

1999年04月

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2000年03月

文部科学省・日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 田村　明久, 奨励研究(A), 補助金,  研究代表者

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組合せ最適化問題の中でも最も研究されているものの一つが無向グラフ上の安定集合問題である。一般にこの問題はNP完全クラスに属し、多項式時間解法はおそらく存在しないであろう。しかし、パーフェクトグラフ、クローフリーグラフなどの幾つかのグラフクラスに対しては多項式時間解法が存在する。特にパーフェクトグラフに対する多項式時間解法の特徴は、安定集合問題がその半正定値緩和問題と一致するところにある。またGrotschel-Lovasz-Schrijverは、その逆命題も成立することを証明した。すなわち、安定集合問題とその半正定値緩和問題が一致するための必要十分条件が無向グラフがパーフェクトであることを示した。
本年度の研究成果は、このGrotschel-Lovaz-Schrijverの結果の別証明を与えたことと、この結果を一般化安定集合問題へと拡張したという2つである。彼らの証明では、無向グラフの補グラフとアンチブロッカーという概念を用いている。我々は、半正定値計画問題に対する2次計画問題表現を利用することで、補グラフなどの概念を導入しない別証明を与えた。
一方、一般化安定集合問題は安定集合問題を双向グラフ上へと自然な形で拡張したものであるが、双向グラフに対しては補グラフという概念がない。そのため「双向グラフがパーフェクト」と「一般化安定集合問題とその半正定値緩和が一致」という命題が同値であることを示すには、彼らの証明法を拡張することは困難であるが、補グラフという概念を用いない我々の証明法は、拡張された命題の同値性証明まで適用できるものであった。
これらの結果は国際会議において発表し、論文としてまとめ学術雑誌に投稿した。

グラフ論、離散最適化とその応用

1999年

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2001年

科学研究費助成事業, 安藤 清, 石上 嘉康, 田村 明久, 浅野 哲夫, 吉岡 正典, 基盤研究(C), 補助金,  未設定

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グラフ論、離散最適化、計算幾何学の諸分野に渡る本研究の研究成果の概要を以下に示す。
計算幾何学の分野の直線成分の抽出問題では従来用いられてきたハフ変換の性能の限界を理論的に示し,理論的に最適な方法を提案した。画像の等高線表現では、整数格子の性質を研究し、グラフ論、離散最適化を適用した問題解決法を提案した。ディジタルハーフトーニングを数学的最適化問題として定義し,ある種の測度を基礎にした実数要素行列の整数要素行列への変換法を導入することにより、ある制約のもとで効率よく実行できるアルゴリズムの開発に成功した。
離散最適化の分野では有向グラフの一般化として双向グラフを定義し、双向グラフ上で安定集合問題の一般化を定式化した。クローフリーグラフの最大重み独立集合を求めるMintyのアルゴリズムの訂正版を提案した。離散凸解析における重要な基本問題の一つであるM-凸関数の最小化問題に対する新しい多項式時間アルゴリズムを提案した。
グラフの距離構造についてはk-辺ワイド直径はグラフの直径のk次式のオーダーであることを示した。グクフの連結度については先行の結果を含むk-可縮辺の存在を保証するより一般的な禁止部分グラフ条件を示した。5-可縮臨界グラフでは少なくともその1/5の頂点が次数5であること、6-可縮臨界グラフでは少なくともその1/7の頂点が次数6であることを示した。与えられた任意のグラフをその誘導部分グラフに含む5-可縮臨界グラフの存在を示した。
極値グラフ理論の分野では新しい擬確率的手法を開発して当該分野の基本定理であるErdos-Stoneの拡張、Bollobas-Kohayakawa予想を肯定的に解決した。グラフを同型な部分グラフで敷き詰めることができるための次数条件を述べたAlon-Yusterの定理を必ずしも同型でない部分グラフの場合に拡張し、長年未解決であったEl-Zahar予想など多くの定理、予想を近似的に含む一般的な結果を得た。

離散凸解析を軸とする離散最適化アルゴリズム

1998年

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2000年

京都大学, 室田 一雄、田村 明久, 降旗 大介, 塩浦 昭義, 藤江 哲也, 特定領域研究(B), 補助金,  研究分担者

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非線形最適化の分野では,凸解析がその理論的なコアとなっている.一方,離散最適化の分野では,このような統一的な視点は存在しない.しかし,マトロイド的構造が良い性質と認知されている.「離散凸解析」は,連続変数に関する最適化と離散変数に関する最適化を統一的視点から捉える試みとして,研究代表者が提唱した理論体系であり,凸解析の理論とマトロイド理論の両者を結ぶ枠組みである.
現実問題として現れる離散最適化問題は,マトロイド的な構造をもつものばかりではないので,分枝限定法のような列挙型の算法や,近似算法などを利用することになる.どのようなアプローチにおいても,問題特有の離散構造の中から扱いやすい部分をうまく抽出することが肝要である.例えば,一般の離散最適化問題を解く際に,ネットワーク的な構造を部分問題として抽出する手法は多くの場合に有効である.
本研究の基本的なアイディアは,一般の離散最適化問題を解くために,離散凸解析で扱える問題を部分問題(子問題)として抽出しようというものである.本研究グループではこのアイディアに基づき,一般の離散最適化問題に対する効率的な解法の構築に取り組んだ.本研究グループの研究活動の成果として、以下のようなものが挙げられる:
●離散凸解析の枠組みにおいて中心的な役割を果たすM凸関数とL凸関数という概念の諸性質を示した。
●M凸関数の最小化問題に対する効率的な算法を提案した。
●整数格子点上で定義されているM凸/L凸関数の概念を、実数空間上の関数へと拡張した。
●M凸/L凸関数の定義を緩和することにより、準M凸/準L凸関数の概念を提案した。
●離散凸解析の経済均衡への応用について粗代替性とM凸性の同値性などの結果を得た。

双向グラフに対する最適化問題とその解法の研究

1997年04月

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1998年03月

文部科学省・日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 田村　明久, 奨励研究(A), 補助金,  研究代表者

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「双向グラフに対する最適化問題とその解法の研究」という目的で昨年度に引き続き本年度は研究を進めて来た。
昨年度の研究成果“The generalized stable set problem for claw-free bidirected graphs"について、1998年の6月に開催された国際会議Integer Programming and Combinatorial Optimization(査読付き)にて口頭発表を行った。その際の旅費として本年度の研究費を用いた。また本論文はこの会議のプロシーディングスに掲載された。
本年度の研究成果は“A linear time algorthm for the generalized stable set problem on triangulated bidirected graphs"としてまとめ、Journal of the Operations Research Society of Japanに投稿し、1999年3月17〜19日に京都大学で開催されるJapan-Hungarian Symposium on Discrete Mathematics and Its Applicationsにて口頭発表する。また、この成果については来年度開催される国内外の学術会議、研究会においても口頭発表を行う予定である。この成果は本年度計画していた「一般の双向グラフについて一般化安定集合問題に対する効率的な解放の開発」を含むものである。もう一つの計画「平面上の与えられた点集合の最小重み三角形分割問題へのこの解法の応用」については現在研究中でありまだ成果を得るに至っていない。
また開発した解法については、当研究費によって購入した計算機を用いてその実用面での有効性の検証も行った。

位相幾何学の数理物質への応用と数式処理の研究

1996年

科学研究費助成事業, 山口 耕平, 田村 明久, 大久保 謙二郎, 内藤 敏機, 基盤研究(C), 補助金,  未設定

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研究実績内容は各分担について以下の通りである:
(1)山口耕平:最近話題となっている(ラベル付き)Configuration-空間のトポロジーを調べることを第1の目標とした。とくにArnold達によって研究されてきた,(ラベル付きConfiguration-空間の典型例のひとつである)次数d重複度がn未満の複素係数多項式の空間SP^d_n(C)のトポロジーの研究によりそれまでの結果を含む一般的な結果を得た。(これに関しては論文準備中であり,今春の日本数学会の特別講演で講演予定である。)またこれに関連して,F.Cohen,R.CohenやVassiliev達のこれらの空間に関する安定ホモトピー型に関する結果の別証明も得られた。(それについても論文準備中である。)さらにそれに類似した結果として複素係数有利関数の空間に関する結果も類似の方法で得られた。(これについては論文投稿中である。)またそのために必要となる向き付きConfiguration-空間のトポロジーに関する結果も得られた。(これについての論文が今年中に発行される予定である。)最後に,これらに関連して特異点論の研究および数式処理の研究も行った。
(2)内藤敏機:バナッハ空間上で無限の送れを持つ場合の線形関数微分方程式の研究を行った。とくに,その解半群のスペクトル分解が成立することを一般的の場合で証明した。またその具体例を一般に調べそれらの解の安定性を調べた。
(3)大久保謙二郎:常微分方程式の研究とそれに関する数式処理の研究を行った。とくに数式処理の工学的応用および教育的応用の研究も行った。

非線形最適化手法の組合わせ最適化へと応用と関連事項

1996年

科学研究費助成事業, 安藤 清, 牛島 照夫, 加古 孝, 竹田 辰興, 水野 弘文, 田村 明久, 基盤研究(C), 補助金,  未設定

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「非線形最適化手法による組合せ最適化問題の効率的解法の開発」という目的で本年度は研究を進めて来た。組合せ最適化問題の中でも安定集合問題を双向グラフ上に一般化した問題に(一般化安定集合問題と呼ぶ)対しては、本研究の目的を完全に達成した。具体的には、双向グラフのパ-フェクト性を導入し、無向グラフのパ-フェクト性との関係を明らかにし、さらにパ-フェクト双向グラフに対する一般化安定集合問題を半正定値計画問題として定式化する方法を示した。この半正定値計画問題に対する多項式時間解法である楕円体法や内点法を用いることでパ-フェクト双向グラフに対する一般化安定集合問題に対する多項式時間解法を構築した。これらの結果は3編の論文としてまとめ、1編はJ.of the Operations Resarch Society of Japanに掲載予定であり、他の2編はMathematical Programming誌と国際会議の査読付きProceedingsに投稿中である。
その他の組合せ的な問題点に対しては、グラフのバンド幅を求める問題について、木グラフのバンド幅の上界値を与える方法を提案した。この上界は既知の結果であるChavatalovaの上界より良く、頂点数が10^9以下の木グラフについてはChunnの上界よりもよいものであった。この結果Discrete Mathematics誌に掲載された。また、グラフのある種の変換についての同型性の研究や符号理論や暗号理論に関する研究を進めた。
非線形を専門とする分担者は、人工ニューラルネットワークの逆問題解析への応用についての研究を進め、核融合プラズマの位置決定問題に適用し良好な結果を得た。これをFusion Technology誌に発表した。

ポテンシャル問題の数値解析と関連事項

1995年

科学研究費助成事業, 牛島 照夫, 田村 明久, 小藤 俊幸, 海津 聡, 加古 孝, 内藤 敏機, 一般研究(C), 補助金,  未設定

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1.研究代表者を中心として得られた知見 (1)スチェクロフ作用素を用いた透過境界条件の設定とその数値的取り扱い ラプラス方程式とポアッソン方程式の数値解法におけるスチェクロフ作用素の取扱いについて考察を深めた。スチェクロフ作用素を用いることによって、無限領域問題および角のある有界領域等の特異性のある領域での有限要素近似計算法を確立して、その数学解析と数値計算を実施した。完全流体における一様流の中の物体まわり流れの精密計算法を考察した。本研究は研究分担者小山大介と共同して実施した。(2)移流拡散非定常問題の差分近似問題の安定性と誤差評価 数値流体力学における基本問題である移流拡散問題の差分近似問題の安定性と誤差評価を研究した。空間一次元問題における等間隔五点差分公式を対象とした。
2.分担者が著しい成果を収めた研究課題(分担者名) (1)遅れをもつ線形微分方程式の線形作用素の半群の理論による取り扱い(内藤敏機)。(2)構造と音場の連成系の振動スペクトルとその有限要素法による近似理論(加古孝)。(3)狭い間隔をもつ同軸円筒管流のテイラー・クエット渦の数理解析と有限要素数値計算(海津聡)。(4)均質化理論による多孔質媒質における非線形固有値問題の取り扱い(海津聡)。(5)遅延微分方程式のルンゲ・クッタ法による数値解法とその代数的安定性の有効性の確立(小藤俊幸)。(6)グラフの全域木を列挙する効率的方法の開発(田村明久)。(7)組み合わせ最適化問題における実行可能多面体のフェイス構造(田村明久)。(8)交互境界条件法による領域分割計算法(竹田辰興、福原誠)。
3.電気通信大学数値解析研究会の継続開催 本年度15回にわたっておおむね金曜午前に実施し、2月9日には、応隆安北京大教授を囲む特別研究会、3月1日には一日研究会「陽春謳歌の会社」をそれぞれ開催した。

構造解析を基にした組合せ最適化アルゴリズムの効率化に関する研究

1994年04月

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1995年03月

文部科学省・日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 田村　明久, 奨励研究(A), 補助金,  研究代表者

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今年度は以下の3つ
(a)「0-1多面体の構造解析」
(b)「重み付きグラフにおける全域木の重み順全列挙アルゴリズムの開発」
(c)アルゴリズムの平均的な振る舞いの評価に関する研究」
を研究目的とした。
(a)に関しては、グラフの最大安定集合問題、グラフの辺(または頂点)の彩色問題に関連した0-1多面体の特殊な面がある半順序集合のイデアル全体から作られる0-1多面体と合同であるという構造を明らかにした。また、この構造を利用し、最大安定集合問題などに対する発見的な方法を提案した。この成果は論文としてまとめ、アメリカ合衆国のミシガン大学で開催された第15回数理計画国際シンポジウム(15th International Symposium on Mathematical Programming)や福岡で開催された第3回アジア太平洋地区オペレーションズ・リサーチ会議(The Thrid Conference of the Association of Asian-Pacific Operational Societies within IFORS)など国内外の会議において口頭発表し、国際的論文誌であるMathematical Programmingに掲載されることになった。
(b)に関しては、重み順ではないがグラフの全域木を列挙する時間計算量の意味でも空間計算量の意味でも最適なアルゴリズムを開発した。既存のアルゴリズムで二つの計算量の意味で最適なものはなく、このアルゴリズムが初めてのものである。この研究成果は、論文としてまとめ、第15回数理計画国際シンポジウムや第3回アジア太平洋地区オペレーションズ・リサーチ会議など国内外の会議において口頭発表し、国際的な論文誌であるSIAM Journal on Computingに投稿した。
研究目的(c)に関しては、今年度中には論文として発表できるような成果は残念ながら得られなかったが、今後も継続して研究をしていく。
本年度は、補助金によって設備としてX端末を購入し、現有設備であるワークステーション(平成4年度科研費により購入)と接続し、論文や発表原稿・OHPの作成、実験結果のグラフィック表示など有効利用した。

関数方程式の応用解析と数値解析

1993年

科学研究費助成事業, 牛島 照夫, 田村 明久, 加古 孝, 田端 正久, 内藤 敏機, 渡辺 二郎, 一般研究(C), 補助金,  未設定

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1.研究代表者を中心として得られた知見 (1)正定値自己共役作用素を近似する有界自己共役作用素列の分数巾の収束率と一様有界性 近似作用素の列の収束率が近似作用素の分数巾の列の収束率に適切に反映されることを示し、この結果から分数巾の列のある意味での一様有界性がしたがうことを示した。(2)水の波線形非定常問題の有限要素離散化問題の収束性と誤差評価の方法の抽象的展開 (1)の結果を手がかりにして、研究を展開した。支配作用素が一階の擬微分作用素であることから生ずる興味ある知見を得た。(3)スチェクロフ作用素を用いた透過境界条件の設定とその数値的取り扱い 外部領域におけるポアッソン問題などの有限要素近似問題に適用しその方法を正当化した。(4)軸対称容器内の水の波固有値問題の有限要素計算 理論解析結果の正しさを確認するとともに、理論の適用出来ない場合の問題点を整理した。
2.分担者が著しい成果を収めた研究課題(分担者名) (1)凸汎関数に対する劣微分作用素の固有値問題の列における解の列の収束性(渡辺二郎、海津總)。(2)積分半群の理論の追究とその線形関数微分方程式の解半群への応用(内藤敏機)。(3)3次精度上流型有限要素近似による自動搬送車廻りの気流解析(田端正久)。(4)高レイノルズ数円柱回り流れにおける流脈線のシミュレーションと近似流脈線の誤差評価(田端正久)。(5)抵抗性磁気流体作用素のスペクトル的性質の解明とその近似解法(加古孝)。(6)ある種の凸最小最大問題に対する再帰的アルゴリズム(田村明久)。
3.電気通信大学数値解析研究会の継続開催と研究資料「電気通信大学数値解析研究会講演題目集」の作成 本年度21回に亘っておおむね金曜午前に実施し、3月4日には一日研究会「恩故知新の集い」を開催した。研究資料には1977年から現在にいたるこの研究会とその前身の会での講演題目を収録した。

線形計画問題に対する内点法とその応用に関する研究

1991年

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1992年

科学研究費助成事業, 小島 政和, 久野 誉人, 水野 真治, 矢島 安敏, 田村 明久, 一般研究(C), 補助金,  未設定

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平成3年度および4年度に計画した研究目標は以下通りであった。
1.主双対内点法の計算効率の向上および評価に関する基礎研究。
2.非凸型2次計画問題および組合せ最適化問題への内点法の適用に関する基礎研究。
3.内点法を中心とする線形計画法のソフトウェアに関する基礎研究。
4.内点法の一般化に関する基礎研究。
研究目標1に関しては,
(1)内点法の各反復でのステップ長をコントロールする新手法の提案,
(2)内点法の初期点に関する研究
を行い理論的な成果を得るとともに,研究目標3と関連して,これらの成果を主双対内点法のソフトウェアに組み込んだ計算実験を行いその有効性を検証した。研究目的2に関しては、非凸型2次計画問題および組合せ最適化問題そのものについての研究成果はあげたが、内点法を適用出来るまでには研究は進んでいない。これはこれらの問題がもともと非常に難しい問題であることが主な原因であり、今後もこの方向で研究を続ける必要がある。研究目標の4に関しては、上述の線形計画問題に関する結果を一般の凸型計画問題に拡張することが出来、充分な成果をあげたと言える。

数理計画法のアルゴリズムとその工学上の諸問題への応用に関する研究

1988年

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1990年

科学研究費助成事業, 今野 浩, 田村 明久, 白川 浩, 久野 誉人, 水野 真治, 小島 政和, 鈴木 久敏, 福田 公明, 一般研究(B), 補助金,  未設定

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(1) 線形計画法と2次計画法における内点法の研究(小島、水野、田村)
線形計画法に対するランク1更新法の開発、主・双対内点法の開発とその収束特性に関する吟味、非線形相補性問題に対する内点法の研究などを行なった。
(2) 理財工学における最適化法の研究(今野、白川)
マ-コビッツのMVモデルの改良版でいあるMADモデルを開発し、その特性を調べた。またこのモデルを一般化したMADSモデルを開発し、その特性を検討した。これらのモデルの新しいところは、少ない手間で最適ポ-トフォリオの計算ができること、収益率分布の3次のモ-メント(歪度)の定量的取扱いを可能にしたことなどである。また、多期間ポ-トフォリオ・配当最適化問題を分析する一般的枠組みの構成を行うとともに、これらを解くためのアルゴリズムの開発を行った。これによって従来よりも複雑かつ大規模な問題を解くことが可能となった。
(3) 非凸型最適化問題の大域的最適解を求めるアルゴリズムの研究(今野、久野)
数種類の非凸型最小化問題の効率的解法の開発に成功した。具体的には、線形乗法計画問題、分数関数の和と積の最小化問題、ランク2およびランク3の双線形計画問題、凸乗法計画問題、複数の凸関数の積の最小化問題、非凸型コスト関数をもつロット・サイズ問題、凸乗法制約式の下での凸関数最小化問題などに対する効率的な解法を提案した。これらの問題はポ-トフォリオ最適化、LSI設計、形算幾何学等の分野に広い応用をもつ非凸型問題であり、これらの問題が実用的に解けることは、工学上大きな意味をもつものと思われる。
なお、これらのの研究成果は約30編の論文として公表されており、その大部分は世界の一流の専の門誌に掲載もしくは受理されている。