慶應義塾研究者情報データベース

経歴 【 表示 ／ 非表示 】

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• 1996年04月

  -

  1998年03月

  日本学術振興会 ,特別研究員

• 1998年04月

  -

  2007年03月

  慶應義塾大学（理工学部）,助手

• 2001年02月

  -

  2002年03月

  フンボルト財団（ドイツ連邦共和国，ケルン大学） ,奨学研究員

• 2006年04月

  -

  2009年03月

  慶應義塾大学（経済学部）,非常勤講師

• 2007年04月

  -

  2010年03月

  慶應義塾大学（理工学部）,助教

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学歴 【 表示 ／ 非表示 】

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• 1993年03月

  慶應義塾大学, 理工学部, 数理科学科

  大学, 卒業

• 1995年03月

  慶應義塾大学, 理工学研究科, 数理科学専攻

  大学院, 修了, 修士

• 1998年03月

  慶應義塾大学, 理工学研究科, 数理科学専攻

  大学院, 修了, 博士

学位 【 表示 ／ 非表示 】

学位 【 表示 ／ 非表示 】

• 博士（理学）, 慶應義塾大学, 課程, 1998年03月

免許・資格 【 表示 ／ 非表示 】

免許・資格 【 表示 ／ 非表示 】

• 気象予報士, 1999年10月

研究分野 【 表示 ／ 非表示 】

研究分野 【 表示 ／ 非表示 】

• 自然科学一般 / 代数学 （解析数論）

研究キーワード 【 表示 ／ 非表示 】

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• 代数的独立性

• 超越数

論文 【 表示 ／ 非表示 】

論文 【 表示 ／ 非表示 】

• Algebraic independence of the partial derivatives of certain functions with arbitrary number of variables

  Ide Haruki, Tanaka Taka-aki

  Indagationes Mathematicae （Indagationes Mathematicae）  34 （ 6 ） 1397 - 1418 2023年11月

  研究論文（学術雑誌）, 共著, 査読有り,  ISSN  00193577

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  We construct a complex entire function with arbitrary number of variables which has the following property: The infinite set consisting of all the values of all its partial derivatives of any orders at all algebraic points, including zero components, is algebraically independent. In Section 2 of this paper, we develop a technique involving linear isomorphisms and infinite products to replace the algebraic independence of the values of functions in question with that of functions easier to deal with. In Sections 2 and 3, using the technique together with Mahler's method, we can reduce the algebraic independence of the infinite set mentioned above to the linear independence of certain rational functions modulo the rational function field of many variables. The latter one is solved by the discussions involving a certain valuation and a generic point in Sections 3 and 4.

  • Access to Document (DOI)

• Algebraic independence of the values of power series and their derivatives generated by linear recurrences

  Haruki Ide, Taka-aki Tanaka, Kento Toyama

  Tokyo J. Math （Tokyo Journal of Mathematics）  45 （ 2 ） 519 - 545 2022年12月

  研究論文（学術雑誌）, 最終著者, 査読有り,  ISSN  03873870

  　概要を見る

  冪級数であって0でない係数をもつ項の次数に大きな跳びがあるものを空隙級数という。空隙級数であって0でない係数をもつ項の次数が任意の正整数を法とする任意の剰余類に無限個分布するようなものは微分完全代数的独立性をもつと予想した。微分完全代数的独立性とは、一つの解析関数であって、その定義域内にあるすべての代数的数における値および、そのような点における任意の階数の微分係数をすべて併せても代数的独立となる、という性質である。そのような空隙級数の中で多変数Mahler関数の特殊化として得られるタイプのものに関しては、ある種の降下法が適用できることを見出した。その結果、0でない係数をもつ項の次数が簡単な構造の線形回帰数列を成し、微分完全代数的独立性を有する空隙級数の構成に成功した。即ち、より簡単な構造でありながら著しい代数的独立性を示す関数が構成できた。

  • Access to Document (DOI)

• On power series generated by simpler sequences and having strong algebraic independence properties

  田中 孝明, 遠山 健人

  京都大学数理解析研究所講究録 （京都大学数理解析研究所）  2222   219 - 236 2022年06月

  研究論文（国際会議プロシーディングス）, 共著, 筆頭著者

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  0と1を係数とする冪級数にいて，1を係数とする項の指数から成る非負整数列を考える．そのような数列が等差数列と等比数列の和で表される場合について，当該冪級数の収束円内の0を除く任意の代数的数における値および任意の階数の微分係数をすべて併せた無限集合が代数的独立となる必要十分条件を記述した．

• Algebraic independence of the values of a certain map defined on the set of orbits of the action of Klein four-group

  田中 孝明

  京都大学数理解析研究所講究録 （京都大学数理解析研究所）  2131   177 - 187 2019年10月

  研究論文（国際会議プロシーディングス）, 単著

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  著者の先行研究において、0以外の代数的数全体と単位円内の0でない代数的数全体の直積集合に属する任意の相異なる点における値がすべて代数的独立となる２変数関数を構成した。本論文では、上記の２変数関数にある種のバランス化を施し、定義域を複素数全体と単位円周を除く複素数全体の直積集合に拡張した関数が次の性質を有することを示した。この関数は定義域に対するクラインの４元群の作用に関する軌道全体の集合上で定義された写像とも見做すことができ、この写像は代数点に代表される任意の相異なる軌道における値がすべて代数的独立となる。

• Algebraic independence of the values of the Hecke-Mahler series and its derivatives at algebraic numbers

  田中 孝明, 田沼 優佑

  Int. J. Number Theory （International Journal of Number Theory）  14 （ 9 ） 2369 - 2384 2018年10月

  研究論文（学術雑誌）, 共著, 査読有り,  ISSN  17930421

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  Hecke-Mahler級数とは、実数ωに対する正整数n倍の整数部分 [nω] から成る数列 {[nω]} の母関数である。本論文では、ωがある適切な条件を満たす２次無理数のとき、Hecke-Mahler級数およびその任意の階数の導関数の、単位円内の0以外の代数的数における値をすべて併せた無限集合が代数的独立となることを証明した。上記の適切な条件を満たす２次無理数ωとして代数的整数である場合が含まれる。Mahlerの方法を用いて、Hecke-Mahler級数の値の代数的独立性を、Hecke-Mahler級数自身の有理関数体を法とする１次独立性に帰着させる。この１次独立性を証明するには、与えられたベクトルのスカラー倍の各成分の小数部分を取って得られる点列の分布について考察する必要があった。

  • Access to Document (DOI)

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KOARA（リポジトリ）収録論文等 【 表示 ／ 非表示 】

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• 非アルキメデス付値体における完全代数的独立性

  田中, 孝明

  科学研究費補助金研究成果報告書 2019年

• 岩澤理論の発展と展開

  田中, 孝明

  科学研究費補助金研究成果報告書 2018年

• 岩澤理論の新展開とその応用

  田中, 孝明

  科学研究費補助金研究成果報告書 2013年

• Mahler関数の特殊値による超越数の構造解明

  田中, 孝明

  科学研究費補助金研究成果報告書 2012年

• エルゴード理論と測度論的数論

  田中, 孝明

  科学研究費補助金研究成果報告書 2008年

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研究発表 【 表示 ／ 非表示 】

研究発表 【 表示 ／ 非表示 】

• Algebraic independence of the values of a certain function invariant under the action of the dihedral group

  Tanaka, Taka-aki

  解析的整数論とその周辺 （京都） , 

  2024年10月

  , 

  口頭発表（一般）, 京都大学数理解析研究所

  　概要を見る

  Using a suitable linear recurrence of positive integers, we construct a certain function of three complex variables which are invariant under the action of the dihedral group on its domain of de nition. For such a function, we consider the map de ned on the set of orbits of the action of the dihedral group and its restriction to the set of orbits represented by algebraic points. Then we show that the restriction takes algebraically independent values at any distinct orbits represented by algebraic points.

• 多変数Mahler関数の基礎と応用

  田中 孝明

  第31回 整数論サ マースクール （山形市） , 

  2024年09月

  , 

  口頭発表（招待・特別）, 山形大学

  　概要を見る

  Mahler関数の定義から出発し, 値の代数的独立性の判定定理については, 複素数体上での最新結果および p進数体上と正標数の関数体上での結果も述べた.

• On a certain function invariant under group action with remarkable algebraic independence properties

  Tanaka Taka-aki

  Diophantine Analysis and Related Fields 2024 （群馬県桐生市） , 

  2024年03月

  , 

  口頭発表（一般）

• Mahler's method for algebraic independence of partial derivatives of certain series in several variables

  Haruki Ide, Taka-aki Tanaka

  Diophantine Analysis and Related Fields 2023 （弘前） , 

  2023年03月

  , 

  口頭発表（一般）

• より簡単な数列で生成され，強い代数的独立性を有する冪級数について

  田中 孝明

  解析的整数論とその周辺 （Zoomによるオンライン開催） , 

  2021年10月

  , 

  口頭発表（基調）, 京都大学数理解析研究所

  　概要を見る

  多項式でない冪級数であって、係数0が連続する部分の長さが無限大に発散するものを空隙級数とよぶ。空隙級数の複数の代数的数における値の間に生じ得る、代数的数係数の既約な多項式で表される関係式（代数的従属の関係式）は１次式に限られる。これは西岡等による先行研究により証明された。その中では、上述のような１次式となる関係式が成立するのは、係数0が連続する部分の長さの増大度が大きい場合は、比が１の冪根である代数的数における値の間に限られる、という定理が述べられている。その系として次のことが分かる。k!+k 次の項の係数のみが1で他の次数の係数は0である空隙級数は、単位円内の0以外の相異なる代数的数における値がすべて代数的独立となる。その理由は、k!+k が任意の正整数 N を法とする任意の剰余類に無限個分布することから、比が1の N乗根である代数的数における値の間には１次式で表される関係式さえも存在せず、従って、代数的数における値の間にいかなる代数的従属の関係式も存在しなくなるからである。
  一方、Loxton-van der Poortenによる先行研究では、固定された整数 d≧2 に対する d^k 次の項の係数のみが1である空隙級数に対しては、代数的従属の関係式は１次式に限られるものの、それらが必ずしも比が１の冪根ではない代数的数における値の間でも成立することが示されている。
  本講演では次の結果を解説する： d^k+k 次の項の係数のみが1で他の次数の係数は0である空隙級数は、単位円内の0以外の相異なる代数的数における値がすべて代数的独立となる、という k!+k の場合と同じ性質を有する。数列 d^k の構造が k! と比べて単純であることから、今回の結果の証明には k!+k の場合の証明とは本質的に異なる、降下法を用いた。

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競争的研究費の研究課題 【 表示 ／ 非表示 】

競争的研究費の研究課題 【 表示 ／ 非表示 】

• 完全代数的独立性の新しい展開

  2024年04月

  -

  2028年03月

  田中 孝明, 基盤研究(C), 補助金,  研究代表者

• 完全代数的独立性の拡張と高次元化

  2020年04月

  -

  2024年03月

  文部科学省・日本学術振興会, 科学研究費助成事業, 田中 孝明, 基盤研究(C), 補助金,  研究代表者

• 非アルキメデス付値体における完全代数的独立性

  2015年04月

  -

  2019年03月

  日本学術振興会, 科学研究費補助金, 補助金,  未設定

• Ｍａｈｌｅｒ関数の特殊値による超越数の構造解明

  2010年04月

  -

  2013年03月

  日本学術振興会, 科学研究費補助金, 補助金,  研究代表者

• ｐ進数体及び関数体上のＭａｈｌｅｒ関数の超越性と代数的独立性及びその応用

  2006年04月

  -

  2009年03月

  日本学術振興会, 科学研究費補助金, 補助金,  研究代表者

担当授業科目 【 表示 ／ 非表示 】

担当授業科目 【 表示 ／ 非表示 】

• 代数学特論Ａ

  2024年度

• 数学２Ｂ

  2024年度

• 数学２Ａ

  2024年度

• 基礎理工学課題研究

  2024年度

• 基礎理工学特別研究第２

  2024年度

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担当経験のある授業科目 【 表示 ／ 非表示 】

担当経験のある授業科目 【 表示 ／ 非表示 】

• 代数学特論Ｃ

  慶應義塾大学大学院理工学研究科

  2018年04月

  -

  2019年03月

• 代数学特論Ａ

  慶應義塾大学大学院理工学研究科

  2018年04月

  -

  2019年03月

• 代数学第１同演習

  慶應義塾大学理工学部

  2018年04月

  -

  2019年03月

• 代数学基礎同演習

  慶應義塾大学理工学部

  2018年04月

  -

  2019年03月

• 関数論第１同演習

  慶應義塾大学理工学部

  2018年04月

  -

  2019年03月

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社会活動 【 表示 ／ 非表示 】

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• 日本気象予報士会

  1999年10月

  -

  継続中

所属学協会 【 表示 ／ 非表示 】

所属学協会 【 表示 ／ 非表示 】

• 日本数学会, 

  1995年01月

  -

  継続中