Tanaka, Takaaki

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Affiliation

Faculty of Science and Technology, Department of Mathematics (Yagami)

Position

Associate Professor

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Career 【 Display / hide

  • 1996.04
    -
    1998.03

    日本学術振興会 ,特別研究員

  • 1998.04
    -
    2007.03

    慶應義塾大学(理工学部),助手

  • 2001.02
    -
    2002.03

    フンボルト財団(ドイツ連邦共和国,ケルン大学) ,奨学研究員

  • 2006.04
    -
    2009.03

    慶應義塾大学(経済学部),非常勤講師

  • 2007.04
    -
    2010.03

    慶應義塾大学(理工学部),助教

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Academic Background 【 Display / hide

  • 1993.03

    Keio University, Faculty of Science and Engineering, 数理科学科

    University, Graduated

  • 1995.03

    Keio University, Graduate School, Division of Science and Engineeri, 数理科学専攻

    Graduate School, Completed, Master's course

  • 1998.03

    Keio University, Graduate School, Division of Science and Engineeri, 数理科学専攻

    Graduate School, Completed, Doctoral course

Academic Degrees 【 Display / hide

  • 博士(理学), Keio University, Coursework, 1998.03

Licenses and Qualifications 【 Display / hide

  • 気象予報士, 1999.10

 

Research Areas 【 Display / hide

  • Algebra (Analytic Number Theory)

Research Keywords 【 Display / hide

  • algebraic independence

  • transcendental numbers

 

Papers 【 Display / hide

  • Algebraic independence of the values of a certain map defined on the set of orbits of the action of Klein four-group

    TANAKA TAKA-AKI

    RIMS Kôkyûroku (RIMS)  2131   177 - 187 2019.10

    Research paper (international conference proceedings), Single Work, Except for reviews

     View Summary

    In the previous work the author constructed a function of two variables taking algebraically independent values at any distinct points belonging to the cartesian product of the set of nonzero algebraic numbers and that of nonzero algebraic numbers inside the unit circle. In this paper the author constructs a balanced analogue of the two-variable function stated above, which is defined on a wider domain, the cartesian product of the set of complex numbers and that of complex numbers except the unit circle. This balanced function can also be regarded as a map defined on the set of orbits of the action of Klein four-group on the domain of definition of the balanced function and the latter map takes algebraically independent values at any distinct orbits represented by algebraic points.

  • Algebraic independence of the values of the Hecke-Mahler series and its derivatives at algebraic numbers

    Tanaka, Taka-aki, Tanuma, Yusuke

    Int. J. Number Theory (International Journal of Number Theory)  14 ( 9 ) 2369 - 2384 2018.10

    Research paper (scientific journal), Joint Work, Accepted,  ISSN  17930421

     View Summary

    Hecke-Mahler series is the generating function of the sequence {[nω]} of the integral parts [nω] of the positive integer multiple nω for ω real. In this paper, we prove that the Hecke-Mahler series has the following property: Its values and its derivatives of any order, at any nonzero distinct algebraic numbers inside the unit circle, are algebraically independent if ω is a quadratic irrational number satisfying a suitable condition, including the case where ω is in addition an algebraic integer. Using Mahler's method, we reduce the algebraic independence of the values of the Hecke-Mahler series to the linear independence of the Hecke-Mahler series themselves modulo the rational function field. For proving this linear independence, we observe the distribution of the sequence of points whose components consist of the fractional parts of the components of scalar
    multiple of a real vector.

  • Algebraic independence of the values of functions satisfying Mahler type functional equations under the transformation represented by a power relatively prime to the characteristic of the base field

    Goto, Akinari, Tanaka Taka-aki

    J. Number Theory (Journal of Number Theory)  184   384 - 410 2018.03

    Research paper (scientific journal), Joint Work, Accepted,  ISSN  0022314X

     View Summary

    We give positive characteristic analogues of complex entire functions having remarkable property that their values as well as their derivatives of any order at any nonzero algebraic numbers are algebraically independent. These results are obtained by establishing a criterion for the algebraic independence of the values of Mahler functions as well as that of the algebraic independence of the Mahler functions themselves over any function fields of positive characteristic.

  • Explicite algebraic dependence formulae of infinite products related with Fibonacci and Lucas numbers

    Kaneko, H., Kurosawa, T., Tachiya, Y., and Tanaka Taka-aki

    Acta Arithmetica 168 ( 2 ) 161 - 186 2015.04

    Research paper (scientific journal), Joint Work, Accepted

  • Arithmetic properties of solutions of certain functional equations with transformations represented by matrices including a negative entry

    Tanaka, Taka-aki

    Tokyo J. Math. 37 ( 1 ) 211 - 223 2014.06

    Research paper (scientific journal), Single Work, Accepted

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    Mahler関数において変数の変換を表す行列は非負行列に限る、という従来の制約の外にある多変数Mahler関数の新しいクラスについてその値の代数的独立性を示し、2項回帰数列で生成されるLaurent級数の値の代数的独立性を証明した。

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Papers, etc., Registered in KOARA 【 Display / hide

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Presentations 【 Display / hide

  • On power series generated by simpler sequences and having strong algebraic independence properties

    TANAKA TAKA-AKI

    Analytic Number Theory and Related Topics (Online via Zoom) , 2021.10, Oral Presentation(key), Research Institute for Mathematical Sciences

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    多項式でない冪級数であって、係数0が連続する部分の長さが無限大に発散するものを空隙級数とよぶ。空隙級数の複数の代数的数における値の間に生じ得る、代数的数係数の既約な多項式で表される関係式(代数的従属の関係式)は1次式に限られる。これは西岡等による先行研究により証明された。その中では、上述のような1次式となる関係式が成立するのは、係数0が連続する部分の長さの増大度が大きい場合は、比が1の冪根である代数的数における値の間に限られる、という定理が述べられている。その系として次のことが分かる。k!+k 次の項の係数のみが1で他の次数の係数は0である空隙級数は、単位円内の0以外の相異なる代数的数における値がすべて代数的独立となる。その理由は、k!+k が任意の正整数 N を法とする任意の剰余類に無限個分布することから、比が1の N乗根である代数的数における値の間には1次式で表される関係式さえも存在せず、従って、代数的数における値の間にいかなる代数的従属の関係式も存在しなくなるからである。
    一方、Loxton-van der Poortenによる先行研究では、固定された整数 d≧2 に対する d^k 次の項の係数のみが1である空隙級数に対しては、代数的従属の関係式は1次式に限られるものの、それらが必ずしも比が1の冪根ではない代数的数における値の間でも成立することが示されている。
    本講演では次の結果を解説する: d^k+k 次の項の係数のみが1で他の次数の係数は0である空隙級数は、単位円内の0以外の相異なる代数的数における値がすべて代数的独立となる、という k!+k の場合と同じ性質を有する。数列 d^k の構造が k! と比べて単純であることから、今回の結果の証明には k!+k の場合の証明とは本質的に異なる、降下法を用いた。

  • Algebraic independence properties of a certain map defined on the set of orbits of the action of Klein four-group

    TANAKA TAKA-AKI

    Keio-Yonsei Number Theory Workshop (Keio Univ.) , 2018.12, Oral Presentation(general)

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    In the previous work the speaker constructed a function of two variables taking algebraically independent values at any distinct points belonging to the cartesian product of the set of nonzero algebraic numbers and that of nonzero algebraic numbers inside the unit circle. In this talk the speaker
    introduces a balanced analogue of the two-variable function stated above,
    which is defined on a wider domain, the cartesian product of the set of
    complex numbers and that of complex numbers except the unit circle.
    The balanced function can also be regarded as a map defined on the set of orbits of the action of Klein four-group on the domain of definition of the balanced function and the latter map takes algebraically independent values at any distinct orbits represented by algebraic points.

  • Algebraic independence of the values of a certain map defined on the set of orbits of the action of Klein four-group

    TANAKA TAKA-AKI

    Analytic Number Theory and Related Topics (Kyoto) , 2018.10, Oral Presentation(guest/special), Research Institute for Mathematical Sciences

     View Summary

    先行研究において講演者は、0以外の代数的数全体と単位円内の0でない代数的数全体の直積集合に属する任意の相異なる点における値がすべて代数的独立となる2変数関数を構成した。 本講演では、上記の2変数関数にある種のバランス化を施し、定義域を複素数全体と単位円周を除く複素数全体の直積集合に拡張した関数を紹介する。この関数は定義域に対するクラインの4元群の作用に関する軌道全体の集合上で定義された写像とも見做すことができ、この写像は代数点に代表される任意の相異なる軌道における値がすべて代数的独立となる。

  • On the functions having `perfect' algebraic independence property at algebraic numbers

    Taka-aki Tanaka

    Diophantine Analysis and Related Fields 2017 (Tokyo) , 2017.01, Oral Presentation(general), Nihon Univ.

  • 有限個の素数pに対するQpとRの`共通部分'に属する超越数から成る代数的独立な無限集合について

    Taka-aki Tanaka, Miho Nakashima

    日本数学会年会 (Tsukuba Univ.) , 2016.03, Oral Presentation(general)

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Research Projects of Competitive Funds, etc. 【 Display / hide

  • 完全代数的独立性の拡張と高次元化

    2020.04
    -
    2024.03

    MEXT,JSPS, Grant-in-Aid for Scientific Research, 田中 孝明, Grant-in-Aid for Scientific Research (C), Principal Investigator

  • 非アルキメデス付値体における完全代数的独立性

    2015.04
    -
    2019.03

    日本学術振興会, JSPS

  • Mahler関数の特殊値による超越数の構造解明

    2010.04
    -
    2013.03

    日本学術振興会, JSPS, Principal Investigator

  • p進数体及び関数体上のMahler関数の超越性と代数的独立性及びその応用

    2006.04
    -
    2009.03

    JSPS, 科学研究費補助金, Principal Investigator

 

Courses Taught 【 Display / hide

  • MATHEMATICS 4B

    2021

  • MATHEMATICS 4A

    2021

  • MATHEMATICS 1B

    2021

  • INDEPENDENT STUDY ON FUNDAMENTAL SCIENCE AND TECHNOLOGY

    2021

  • GRADUATE RESEARCH ON FUNDAMENTAL SCIENCE AND TECHNOLOGY 2

    2021

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Courses Previously Taught 【 Display / hide

  • 代数学特論C

    慶應義塾大学大学院理工学研究科, 2018

  • 代数学特論A

    慶應義塾大学大学院理工学研究科, 2018

  • 代数学第1同演習

    慶應義塾大学理工学部, 2018

  • 代数学基礎同演習

    慶應義塾大学理工学部, 2018

  • 関数論第1同演習

    慶應義塾大学理工学部, 2018

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Social Activities 【 Display / hide

  • 日本気象予報士会

    1999.10
    -
    Present

Memberships in Academic Societies 【 Display / hide

  • 日本数学会, 

    1995.01
    -
    Present