Papers - Nodera, Takashi

Block symplectic Gram-Schmidt metho

Yoichi MATSUO, NODERA TAKASHI

ANZIAM J. 66   C416 - C430 2016.03

Research paper (scientific journal), Joint Work, Accepted

A note on Lanczos algorithm for computing PageRank

#HKAZUMA TERAMOTO, TAKSHI NODERA</>

Springer Proceedings in Mathematics & Statistics (Springer)  124   25 - 33 2016.01

Joint Work, Accepted

Block Symplectic Gram-Schmidt Method

MATSUO YOUICHI, NODERA TAKASHI

KSTS/RR-15/004 (Department of Mathematics, Keio University)   2015.03

Joint Work

The L-BFGS Method for Nonlinear GMRES Acceleration

YOKOTA YUTO, NODERA TAKASHI

KSTS/RR-15/005 (Department of Mathematics, Keio University)   2015.03

Joint Work

Lanczos Type Method for Computing PageRank

ERAMOTO KAZUMA, NODERA TAKASHI

KSTS/RR-15/003 (Department of Mathematics, Keio University)   2015.03

An Efficient Implementation of the Block Gram-Schmidt Method

NODERA TAKASHI, YOICHI MATUO

The ANZIAM J. 54   C394 - C409 2013.06

Research paper (scientific journal), Joint Work, Accepted

Two-level Parallel Preconditioning derived from an Approximate Inverse based on the Sharman-Morrison Formula

ZHANG LINJIE, MORIYA KENTARO, NODERA TAKASHI

The ANZIAM J. 54(E) ( 1 ) E1-E25 2012.10

Research paper (scientific journal), Joint Work, Accepted,  ISSN  1445-8735

適切なblock-sizeの決定法を用いたBlock Gram-Schmidt法の並列

MATSUO YOUICHI, NODERA TAKASHI

情報処理学会HPC電気通信大学研究会 (情報処理学会)  HPC-134 ( 2 ) 1-4 2012.06

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work

A New Stopping Rule: GMRES for Linear Discrete Ill-posed Problems

KUROIWA NAO, NODERA TAKASHI

KSTS  2012.03

Research paper (other academic), Joint Work

The Optimal Block-size for the Block Gram-Schmidt Orthogonalization

MATUO YOUICHI、NODERA TAKASHI

Journal of Science and Technology 49 ( 4A ) 348-354 2011.10

Research paper (scientific journal), Joint Work,  ISSN  0866 708X

　View Summary

We have proposed an adaptive procedure for determining the optimal block-size for the Block Gram-Schmidt orthogonalization, which is a process for computing the QR factorization of matrix X.Accurate block-size is different for each numerous problem. In this paper, we have explored two new schemes for searching and finding accurate
block-size under one execution of the QR factorization.
Some numerical experiments will be used to illustrate the effectiveness of the proposed algorithm.

離散型線形悪条件問題に対する修正GMRES法

KUROIWA NAO, NODERA TAKASHI

情報処理学会論文誌 52 ( 9 ) 2812-2821 2011.09

Research paper (scientific journal), Joint Work

　View Summary

近年，第一種Fredholm積分方程式の離散化から導かれる連立$1$次方程式の近似解法としてGMRES法が注目を集めている．この連立1次方程式は離散型線形悪条件問題に分類され，悪条件問題としての困難な性質を持つため，克服すべき点は多い．今回提案する反復終了条件は，悪条件問題に対する古典的な手法の1つであるTikhonov正則化に基づく値を利用したものである．通常，GMRES法の反復終了条件には，相対残差ノルムを利用することが多い．しかし，離散型線形悪条件問題に対して用いる場合には，適切な反復終了条件として働かないため，他の基準が必要となる．そこで，適当なタイミングで反復終了を可能とするSimplified Tikhonov値を
GMRES法の新たな反復終了条件として提案する．

最小二乗問題に対するblock Gram-Schmidt法の適用

MATSUO YOUICHI，NODERA TAKASHI

2011-HPC-130(SWoPP2011) (情報処理学会)     1-4 2011.07

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work

　View Summary

downdating を含む最小二乗解を求める問題においても，Gram-Schmidt法は有用とされている．block Gram-Schmidt法は，$Q$のデータを使う回数を減らしキャッシュメモリを効率的に使用することにより，直交化をより効率的に行うことができる．これによって，block downdating のQR分解をより高速に求めることができる．block Gram-Schmidt法を用いたblock downdating に対する手法を提案し，数値実験でその有用性を示す．

A GMRES(m) Method with Two Stage Deflated Preconditioners

SHIROISHI JUNGO、NODERA TAKASHI

ANZIAM J. 52   C222-C236 2011.05

Research paper (scientific journal), Joint Work

　View Summary

The GMRES($m$) method is often used to compute Krylov subspace solutions oflarge sparse linear systems of equations. Morgan developed a new procedure, called Deflated GMRES($m$, $k$)[SIAM J. Sci. Comput. 24 (2002), pp. 20-37].
This method deflates $k$, the smallest eigenvalue, and improves eigenvalue distribution.

In this paper, we explore a new deflated GMRES($m$, $k$, $l$) which uses a two stage deflation technique. In addition, the results of the numerical experiments for test matrices are tabulated to illustrate that our approach is effective in solving a wide range of problems.

A GMRES(m) Method with Two Stage Deflated Preconditioners

NODERA TAKASHI

ANZIAM J. 52   C222-C236 2011.05

Research paper (scientific journal), Joint Work

　View Summary

The GMRES($m$) method is often used to compute Krylov subspace solutions oflarge sparse linear systems of equations. Morgan developed a new procedure, called Deflated GMRES($m$, $k$)[SIAM J. Sci. Comput. 24 (2002), pp. 20-37].
This method deflates $k$, the smallest eigenvalue, and improves eigenvalue distribution.

In this paper, we explore a new deflated GMRES($m$, $k$, $l$) which uses a two stage deflation technique. In addition, the results of the numerical experiments for test matrices are tabulated to illustrate that our approach is effective in solving a wide range of problems.

悪条件問題に対するGMRES法の反復終了条件

NODERA TAKASHI,　KUROIWA NAO

情処研報/SWoPP2010 (情報処理学会)     1-7 2010.08

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work

Efficient Approximate Inverse Preconditioning Techniques for Reduced Systems on Parallel Computers

NODERA TAKASHI, MORIYA KENTARO, Zhang Rinjie

SUBSTRUCTURING TECHNIQUES AND DOMAIN DECOMPOSITION METHODS (United　Kingdam・Saxe-Coburg Publications)     203-228 2010.04

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work

A note on the GMRES method for Linear Discrete ill-posed Problems

NODERA TAKASHI, KUROIWA NAO

Adv. Appl. Math. and Mech. 1 ( 6 ) 816-829 2009.12

Research paper (scientific journal), Joint Work, Accepted

　View Summary

In this paper, we are presenting a proposal for new modified algorithms for RRGMRES and AGMRES. It is known that RRGMRES and AGMRES are viable methods for solving linear discrete ill-posed problems. In this paper we have focused on the residual norm and have come-up with two improvements where successive updates and the stabilization of decreases for the residual norm improve performance respectively. Our numerical experiments confirm that our improved algorithms are effective for linear discrete ill-posed problems.

Usage of the Convergence Test of the Residual Norm in the Tsuno-Nodera version of the GMRES algorithm

NODERA TAKASHI,　MORIYA　KENTARO

The ANZIAM Journal (Australia)  49 ( 2 ) 293-308 2009.10

Research paper (scientific journal), Joint Work, Accepted

　View Summary

Tsuno and Nodera proposed a new variant of the GMRES(m) algorithm. Their algorithm is referred to as the GMRES(mmax) algorithm and performs the restart process adaptively, considering the distribution of the zeros of the residual polynomial. However, unless the zeros of the residual polynomial are distributed uniformly, mmax is always chosen and their algorithm becomes almost the same as the GMRES(m) algorithm with m=mmax.

In this paper, we include a convergence test for the residual norm in the GMRES(mmax) algorithm and propose a new restarting technique based on two criteria. Even if the distribution of zeros does not become uniform, the restart can be performed by using the convergence test of the residual norm. Numerical examples simulated on a Compaq Beowulf computer demonstrate that the proposed technique accelerates the convergence of the GMRES(mmax) algorithm.

An Approximate matrix inversion procedure by parallelization of the Sherman-Morrison formula

NODERA TAKASHI,　MORIYA　KENTARO, Zhang Linjie

The ANZIAM Journal (Australia)  51 ( 1 ) 1-9 2009.10

Research paper (scientific journal), Joint Work, Accepted

　View Summary

The Sherman–Morrison formula is one scheme for computing the approximate inverse preconditioner of a large linear system of equations. However, parallelizing a preconditioning approach is not straightforward as it is necessary to include a sequential process in the matrix factorization. In this paper, we propose a formula that improves the performance of the Sherman–Morrison preconditioner by partially parallelizing the matrix factorization. This study shows that our parallel technique implemented on a PC cluster system of eight processing elements significantly reduces the computational time for the matrix factorization compared with the time taken by a single processor. Our study has also verified that the Sherman–Morrison preconditioner performs better than ILU or MR preconditioners.

Adaptive Augmented GMRES method for Solving Ill-posed Problems

NODERA TAKASHI, KUROIWA NAO

The ANZUAM J. (AUSTRALIA)  50   C567-C677 2009.01

Research paper (scientific journal), Single Work, Accepted

　View Summary

The GMRES method is an iterative method that provides better solutions when dealing with large linear systems of equations with a non-symmetric coefficient matrix. The GMRES method generates a Krylov subspace for the solution, and the augmented GMRES method allows augmentation of the Krylov subspaces by a user supplied subspace which represents certain known features of the desired solution. The augmented GMRES method performs well with suitable augmentation, but performs poorly with unsuitable augmentation. The adaptive augmented GMRES method automatically selects a suitable subspace from a set of candidates supplied by the user. This study shows that this method maintains the performance level of augmented GMRES and lightens the burden it puts on its users. Numerical experiments compare robustness as well as the efficiency of various heuristic strategies.

AISM法を用いた近似逆行列の2レベル並列計

Kentaro Moriya, Zhang Linjie, and Takashi Nodera

情報処理学会論文誌 (情報処理学会)  49 ( 6 ) 1462-1478 2008.06

Research paper (scientific journal), Joint Work, Accepted

Sherman-Morrison法の並列化による近似逆行列の計算

Kentaro Moriya, Zhang Linjie, and Takashi Nodera

情報処理学会論文誌 (情報処理学会)  48 ( 6 ) 1462-1478 2007.08

Research paper (scientific journal), Joint Work, Accepted

Parallelization Strategy for AISM Preconditioner

NODERA TAKASHI, zhnag Linjie, MORIYA KENTARO

WORLDCOMP'07(Scientific Computing (CSC'07))    304-311 2007.07

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work, Accepted

A new scheme of computing the approximate inverse preconditioner for the reduced linear systems

NODERA TAKASHI, KENTARO MORIYA

Journal of Computational and Applied Mathematics 199 ( 2 ) 345-352 2007.02

Research paper (scientific journal), Joint Work, Accepted

　View Summary

In this paper, we propose a new implementation of the Newton scheme of an approximate preconditioner for the reduced linear system. In the original Newton scheme, the trouble is that the computation cost of the matrix-matrix product is always so expensive. On the other hand, the proposed implementation computes the preconditioner implicitly and reduces the cost of constructing the preconditioner by using the matrix-vector product form. We also show that the proposed implementation is less expensive than computing the preconditioner in explicit form.

新しい準直交ランチョス方の収束性と精度評価について

NODERA TAKASHI，UMEGAKI HARUKA

情処研報 (情報処理学会HPC研究会)  2006 ( 87 ) 145-151 2006.08

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work

Sherman-Morrison法の部分的な並列化による 近似逆行列計算の高速化について

Kentaro Moriya, Takashi Nodera

京都大学数理解析研究所講究録  ( 1362 ) 145-151 2006.07

Research paper (bulletin of university, research institution), Joint Work

Sherman-Morrison公式による前処理行列計算 の精度評価とその再構成について

NODERA TAKASHI，Zhang Linjie, MORIYA KENTARO

情処研報 (情報処理学会HPC研究会)  2006 ( 63 ) 37-42 2006.06

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work

精度評価付き MR 法による行列の前処理について

NISHINA NANA, ZHANG LINJIE, NODERA TAKASHI

情処研報 (情報処理学会HPC研究会)  2005 ( 81 ) 1-6 2005.08

Research paper (conference, symposium, etc.), Single Work

　View Summary

近似逆行列を前処理とする算法の開発においてフロベニウスノルムを最小にする技法を提案する論文である．本論文では，GMRES法の前処理としてMR法を利用して，その収束性の評価を行っている．

大規模行列系に対する頑強な2階ILU分解前処理

YAMAGUCHI RYOUICHI, NODERA TAKASHI

情処研報 (情報処理学会HPC研究会)  2005 ( 103 ) 7-12 2005.08

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work

　View Summary

行列のILU前処理は，反復法の収束を改善する方法として有効な手法である．本論文では，ILU分解を発展させた2階のILU分解とその頑強性について考察した．また，数値実験では，反復階数の減少などを比較し，提案手法の有効性を考察した．

準直交ランチョス法による大規模固有値問題の解法,

NODERA TAKASHI，UMEGAKI HARUKA

情処研報 (情報処理学会HPC研究会)  2005 ( 57 ) 7-12 2005.06

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work

　View Summary

大規模な固有値問題の解法として利用されているLanczos法の直交性を修正し，3重対角行列からHessenberg行列に変換することで，固有ベクトルの精度を改善する算法を提案し，数値実験によりその有効性を示した．

A new adaptive restart for GMRES(m)　method

ZHANG LINGE, NODERA TAKASHI

ANZIAM J. 46   C409-C425 2005.05

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work, Accepted,  ISSN  1446-8735

　View Summary

GMRES(m) method is a Krylov subspace method
for solving nonsymmetric linear systems of equations.
The difficulty of this method lies in choosing
the appropriate restart cycle m.
In this paper, we propose a new strategy of
adaptive restart for GMRES(m) method
which based on an idea due to the
difference of the Ritz and harmonic Ritz values.
We also report on numerical experiments.
These results show that this new approach is both
effective and robust．

Computing the Preconditioner for Schur Complement

MORIYA KENTARO, NODERA TAKASHI

ANZIAM J. 46   C394-C408 2005.05

Research paper (scientific journal), Joint Work, Accepted,  ISSN  1446-8735

　View Summary

The Newton scheme is used to construct an approximate inverse preconditioner for Schur-complement.
However, this scheme is so expensive because of the computation cost of matrix-matrix multiplication.
In this paper the computation cost of the Newton scheme is reduced by computing the preconditioner implicitly.
It's also shown that the proposed scheme is much less cost
than computing the preconditioner in explicit form
with matrxi-matrix multiplications.

Ritz値を考慮したGMRES(m)法の適応的なリスタート

Zhang Linjie, TAKASHI NODERA

情報処理学会論文誌ACS (情報処理学会論文誌)  45 ( SIG11(ACS ) ) 1-10 2004.10

Research paper (scientific journal), Single Work, Accepted

　View Summary

GMRES(m)法は，大型で疎な非対称行列を係数として持つ連立1次方程式を解くためのクリロフ部分空間法の1つである．GMRES(m)法において，Ritz値と調和Ritz値は低コストで求められ，その収束はこれら2つの値から評価できる．本稿では，Ritz値と調和Ritz値を利用してGMRES($m$)法の適応的なリスタート手法を提案する．数値実験の結果から，古典的なGMRES($m$)法と比較して本稿で提案する手法の有効性を示す．

シュールコンプリメントに対する前処理の一考察

NODERA TAKASHI，MORIYA　KENTARO

情処研報 (情報処理学会HPC研究会)  2004 ( 81 ) 181－186 2004.08

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work

　View Summary

縮小行列系を構成したときに，シュールコンプリメントの前処理をどのように行うかが問題となる．本論文では，Newton法による前処理を考え，初期値の選択方法などを議論した論文である．

2階ILU分解による行列の前処理とその応用について

NODERA TAKASHI，YAMAGUCHI　RYOUICHI

情処研報 (情報処理学会HPC研究会)  2004 ( 81 ) 169－174 2004.08

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work

　View Summary

連立1次方程式の係数行列が非対称な場合に，前処理として不完全LU分解がよく利用されるが，本論文ではそれを2階まで一般化した不完全LU分解について提案した．

ILU分解を用いたマルチレベル前処理

NODERA TAKASHI，ZHANG LINJIE

情処研報 (情報処理学会HPC研究会)  2004 ( 81 ) 175－180 2004.08

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work

　View Summary

近年，不完全LU分解に基づいたマルチレベル法が注目を集めており，Saadらの開発したARMSを使って数値実験を行い，マルチレベル法の有効性を評価した．

残差ノルムの収束判定を利用したGMRES(≦Ｍmax)法

Kentaro Moriya, and Takashi Nodera

情報処理学会論文誌 (情報処理学会)  45 ( 8 ) 14 2004.08

Research paper (scientific journal), Joint Work, Accepted

　View Summary

GMRES($le m_{max}$)法は，残差多項式の零点分布に基づいて
リスタートを行う算法である．しかし，零点が理想的な分布にならないと，リスタート周期の値が強制的に最大値となる $m_{max}$ でリスタートを行うことになる．本稿では，残差ノルムの収束判定を行う新しいパラメータを導入し，この基準からもリスタート周期を決定するGMRES($le m_{max}$)法の改良版を提案する．

New adaptive GMRES(m) algorithm with choosing a suitable restart cycle m

Kentaro Moriya, and Takashi Nodera

Parallel Processing and Applied Mathematics, Springer LNCS (Institute of Mathematics and Computer Science of the Czestochowa University of Technology)   ( 3019 ) 1105-1113 2004.07

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work, Accepted,  ISSN  0302-9743

　View Summary

GMRES method is one of the major iterative algorithms
for solving large and sparse linear systems of equations.
However, it is difficult to implement GMRES algorithm
because its storatege and computation cost are
so exceeded. Therefore, GMRES(m) algorithm is often used.
In this paper, we propose a new variant of GMRES(m) algorithm. Our algorithm chooses the restart cycle m based both on the convergence test of residual norm and on the distribution of zeros of residual polynomialof GMRES(m) algorithm. From the numerical examples on Compaq Beowulf,
we also show the effectiveness of our proposed algorithm.

The Composition of Reduced System and its Preconditioning

NODERA TAKASHI、INOUE　TOSHIO

ITERATIVE METHODS, PRECONDITIONING　AND NUMERICAL PDEs (IMET 2004) (Czech Technical University in Prague)     65-68 2004.05

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work, Accepted

　View Summary

縮小した線形システムに対して，修正newton法を用いて近似前処理行列を計算する技法を提案した論文である.

連続問題から生ずる大規模な線形方程式の解法

NODERA TAKASHI，IDA KENICHIRO

情処研報 (情報処理学会HPC研究会)  2004 ( 34 ) 1-5 2004.04

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work

　View Summary

シードシステムを使って，いくつかの連立1次方程式の近似解を順番に求めるLanczos法に基ずく算法を提案し，数値実験の結果について評価した．

シフト方程式に対する 近似逆行列前処理の効果的な並列実装について

Kentaro Moriya, Takashi Nodera

Nemerical Analysis and New Information Technology (京都大学数理解析研究所講究録)   ( 1362 ) 104－112 2004.04

Research paper (bulletin of university, research institution), Joint Work

残差ノルムの収束判定を用いる適応的なGMRES(≦Mmax)法

Kentaro Moriya, Takashi Nodera

Nemerical Analysis and New Information Technology (京都大学数理解析研究所講究録)   ( 1362 ) 104－112 2004.04

Research paper (bulletin of university, research institution), Joint Work

　View Summary

GMRES(≦Mmax)法は，残差多項式のゼロ点に基づいて反復の途中で動的にリスタートする算法であるが，これが有効に働かないこともある．そこで，残差ノルムの収束テストを行うことで，リスターと周期を動的に代える算法を提案し，数値実験により提案手法の有効性を評価した．

ブロック分割によるreduced systemの前処理

NODERA TAKASHI, INOUE TOSHIO

情処研報 (情報処理学会HPC研究会)  2003 ( 102 ) 7－12 2003.10

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work

　View Summary

reduced systemによるSchur-complementに対する前処理について，演算量を削減できる手法を提案し，数値実験によりその手法の有効性を確認した．

Ritz値を使ったGMRES法の収束性の評価について

NODERA TAKASHI，ZHANG LINJIE

情処研報 (情報処理学会HPC研究会)  2003 ( 102 ) 13－18 2003.10

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work

　View Summary

Ritz値とGMRES法の収束の関係について提言し，リスタートを伴うGMRES(m)法のほぼ最適となるmの決定方法を提案した．

反復中に直交空間を再構成するML(k)BiCGStab法

NODERA TAKASHI，MORIYA　KENTARO

情処研報 (情報処理学会HPC研究会)  2003 ( 83 ) 7－12 2003.08

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work

　View Summary

ML(k)BiCGStab法のkの決定を適応的に行う算法を提案し，数値実験とともに報告した論文である．

Effectiveness of Approximate Inverse Precondditioning by using the MR algorithm on an Origin 2400

Tasuku Tanaka, Takashi Nodera

The Third International Conference on Engineering Computational Technology (Civil-Comp Ltd, Stirling, Scotland)  1   10 2002.09

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work, Accepted

　View Summary

The minimul residual algorithm for computing a sparse approximate inverse M of the coefficient matrix A is investigated. It is very useful for deriving a precise preconditioner in restarted GMRES(m) algorithm, mailnly in parallel environment. Numerical experiments are reported to show convergence behavior of GMRES(m) algorithm with MR preconditioning on the test problems by using the shared memory parallel machine Origin 2400.

Origin 2400におけるRBオーダリングによる不完全ブロック分解前処理の性能評価

NODERA TAKASHI, INOUE TOSHIO

情処研報 (情報処理学会HPC研究会)  2002 ( 80 ) 25－30 2002.08

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work

　View Summary

不完全LU分解に類似したブロック行列分解を利用して，縮小行列を構成し，それに対する前処理の性能評価を並列計算機ORIGIN2400を用いて行った論文である．

MR法による近似逆行列のRitz値について

NODERA TAKASHI、TANAKA TASUKU

情処研報 (情報処理学会HPC研究会)  2002 ( 80 ) 19－24 2002.08

Joint Work

　View Summary

MR法を利用して，近似逆行列を構成する場合に問題となる行列要素のドロッピィングの算法について，ORIGIN2400を利用した数値実験とともに報告した．

残差ノルムの収束停滞を適応的に回避するGMRES(m)

Kentaro Moriya, Takashi Nodera

Journal of Information Processing Society of Japan 43 ( 7 ) 2264-2271 2002.07

Research paper (scientific journal), Joint Work

　View Summary

GMRES(m)法は大型で疎な連立1次方程式の反復法の1つであり，m回の反復ごとにリスタートを行うことで直交化に必要な計算量を減少させる算法である．しかし，このリスタートが原因で残差ノルムの収束の停滞を引き起こすことがある．本稿では，GMRES($m$)法における残差ノルムの収束の停滞を判定する2つのパラメータを導入し，リスタート周期を適応的に切り替えるGMRES(m)法の新しい改良版を提案する．

リスタート周期を動的に変えるGMRES(m)法

Mitsuru Habu, Takashi Nodera

Journal of Information Processing Society of Japan 43 ( 6 ) 1975-1803 2002.06

Research paper (scientific journal), Joint Work

　View Summary

クリロフ部分空間法の1つであるGMRES(m)法は，リスタート周期mの値を問題毎に選択しなければならない．リスタート周期の値は残ノルムの収束に影響を及ぼすため，適切なmを選択することが必要となる．本稿では，リスタート周期mの選択法の1つとしてAdaptive GMRES(m, lmax, itmax)法を提案する．この算法は，Sosonkinaらの論文によって提案されたAdaptive GMRES(m, itmax)法の改良版であり，動的にリスタート周期の値を増減させることで残差ノルムがゼロに収束するまでの計算時間を改善する．並列計算機 SGI Origin 2000による数値実験でいくつかの算法と比較することでその有効性を検証する．

並列牲を考慮した大規模な線形システムの前処理

Kentaro Moriya, Takashi Nodera

応用数理 12 ( 1 ) 14-28 2002.03

Research paper (scientific journal), Joint Work, Accepted

　View Summary

並列性を考慮した大規模な線形システムの解法の中で，不完全LU分解の新しい実装法やデフレーションを利用する前処理の計算方法などについて述べたものである．

BiCGSTAB法を改良したML(k)BiCGSTAB法の有効性について

Noboru　Gojouhou, Takashi Nodera

情処研報 (情報処理学会HPC研究会)  2001 ( 102 ) 49-54 2001.10

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work

　View Summary

BiCGStab法の収束性を向上させるために，方向ベクトルの直交性を再利用した算法を提案し，条件の悪い問題を使ってその有効性を示したものである

複素数演算を回避するDeflated-GMRES(m)法

Hiroo Suzuki, Kentaro Moriya, Takashi Nodera

情処研報 2001 ( 77 ) 7-12 2001.07

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work

　View Summary

デフレ-ションを用いたGMRES(m)法において複素演算を回避して，演算回数を減少させる算法を提案したものである

自動リスタート過程を持つGMRES(m)法の性能評価

Misturu Habu, kentarou Moriya, Takashi Nodera

情処研報 2001 ( 77 ) 1-6 2001.07

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work

　View Summary

線形方程式の解法にはさまざまなものを利用することができるが，GMRES(m)法を利用した場合にリスタートサイクルを自動的に決定するいろいろな算法について比較検討したものである

Lejaポイントを利用した並列クリロフ部分空間法の一考察

Noboru Gojoho, Takashi Nodera

第30回数値解析シンポジウム  2001.06

Research paper (conference, symposium, etc.), Single Work

　View Summary

Lejaポイントを利用して，大規模な線形方程式の反復解法として，利用されているクリロフ部分空間法を並列化する算法を提案したものである

MR法を前処理とするGMRES($m$)法について

Tasuku Tanaka, Takashi Nodera

情処研報 2001 ( 49 ) 6-12 2001.05

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work

　View Summary

MR法を用いた新しい前処理の計算法を提案し，その有効性について数値実験を用いて示したものである

並列ブロックグラムシュミットを用いた Deflated-GMRES(m) 法の 一考察

Hiroo Suzuki, Kentaro Moriya, Takashi Nodera

Numerical Solution of Partial Differental Equations and Related Topics II (京都大学数理解析研究所講究録)   ( 1198 ) 101－107 2001.04

Research paper (bulletin of university, research institution), Joint Work

　View Summary

並列計算可能なさまざまなグラムシュミット法の有効性について数値実験により比較検討を行ったものである

シフトを行なった連立1次方程式に対するGMRES（m）法の有効性について

Yuuki Hirano, Takashi Nodera

情処研報 (情報処理学会HPC研究会)  2000 ( 114 ) 1-6 2000.12

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work

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大型で疎な非対称行列を係数とする連立1次方程式の解法の1つにGMRES(m)法がある．シフトを行なった連立1次方程式とは，元の連立1次方程式の対角成分が定数$alpha$だけ異なるものであり，主に量子力学の格子ゲージ計算で利用されることが多い．シフトした連立1次方程式に対するクリロフ部分空間が元の連立1次方程式と同一のクリロフ部分空間になることを利用して，A. Frommerらが提案したShifted-GMRES(m)法を用いることができる．この解法により，計算コストのかかる行列とベクトルの積や，計算時間を減らすことができる．本稿では，この解法と従来のGMRES(m)法とを並列計算機Origin 2000の数値実験を用いて比較し，その解法の有効性を示す．

The DEFLATED-GMRES(m, k) Method with Switching the Restart Frequency Dynamically

Kentaro Moriya,　Takashi Nodera

Numerical Linear Algebra　with Application 7   569-589 2000.12

Research paper (scientific journal), Joint Work

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We propose an adaptive procedure that combines
DEFLATED-GMRES(m,k) algorithm and the determination of
a restart frequency m automatically. It is shown that
a new algorithm combining elements of both will reduce the negative effects of the restarted procedure. The numerical experiments are presented on three test problems by using
MIMD parallel machine AP3000.

Convergence Behavior of Deflated GMRES(m) Algorithms on AP3000

Kentaro Moriya, Takashi Nodera

ANZIAM Journal 42   C996-　-C1018 2000.11

Research paper (scientific journal), Joint Work, Accepted

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GMRES(m) method, the restarted version of the GMRES
(generalized minimal residual) method, is one of the major
iterative methods for numerically solving large and sparse
nonsymmetric problems of the form $Ax=b$. However, the
information of some eigenvectors that compose the
approximation disappears and then the good approximate
solution cannot be obtained, because of this restart. Recently, in order to improve such a weak point, some algorithms which named MORGAN, DEFLATION and DEFLATED-GMRES
algorithm, have been proposed. Those algorithms add the
information of eigenvectors that can be obtained in the previous restart frequency. In this paper, we study those algorithms and compare their performances. From the numerical experiments on the distributed memory
machine Fujitsu AP3000, we show that DEFLATED-GMRES(m, k)
method performs the good reduction of residual norms in these algorithms.

Effectiveness of Adaptively Left　Preconditioned GMRES(m) algorithm On Origin 20000

Hiroo Suzuki, Takashi Nodera

Proceedings of SGI User's Conference (CYFRONET, Academic Computer Centre of the University of Mining and Metallurgy)     419-428 2000.10

Research paper (scientific journal), Joint Work, Accepted

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GMRES(m) method is one of the iterative algorithms for solving the linear systems of equations with a large, sparse, and nonsymmetric coefficient matrix. This restarted method is able to reduce both computational work and its memory requirement. However, using the restart, GMRES(m) method looses the information of some eigenvectors corresponding to the smallest eigenvalues, and its convergence may slow down or stall. In this paper, we compare the restarted GMRES(m,k,alpha,beta) method
which determines left preconditioner adaptively coupling with IRA (Implicitly Restarted Arnoldi) process. At last, we will give the numerical experiments on the parallel
machine Origin 2000 and concluding remarks.

GMRES（m） algorithm with changing the restart cycle adaptively

Mitsuru Habu, Takashi Nodera

Proceedings of Algoritmy 2000 Conference on Scientific Computing (Solvak Univ.of Tech, Bratislava, Comenius Univ., Bratislava, and Univ. of Technology, Zvolen)     254-263 2000.09

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work, Accepted

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A restarted GMRES(m) algorithm is often an effective means for solving nonsymmetric linear systems of equations. However, this algorithm sometimes experiences stagnation or slow convergence, if too small restart cycle m is chosen. Unfortunately, it can be very difficult to know how to choose m a priori. In this paper, we present new adaptive strategy which the restart cycle m can be both increases and decreased by using the tolerance of estimated number of iterations to achieve convergence. Numerical comparisons of the new algorithm and the standard one are given on the parallel computer Origin 2000. These results show that this new algorithm has a reasonable convergence rather than the other algorithms.

リスタートサイクルを適応的に変えるGMRES(k)法

Mitsuru Fabu, Takashi Nodera

情処研報 2000 ( 73 ) 47-52 2000.08

Research paper (conference, symposium, etc.), Single Work

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リスタート付きのGMRES法であるGMRES(k)法は，リスタート周期の取り方によって残差ベクトルのノルムの収束に影響を与えるため，
問題によってリスタート周期を適当に選ぶことが重要である．
GMRES(k)法のリスタート周期を動的に変化させる方法の一つに
Sosonkinaによって提案されたAdaptive GMRES(k)法があるが，リスタート周期を増やす処置しかないために問題によっては計算時間が必要以上にかかり適当でない．そこで本稿では，Adaptive GMRES(k)法を基本算法とし，リスタート周期を減らす過程を加えた算法を提案する．

Adaptive BiCGStab(&#8467;) Algorithm with varying &#8467;

Takashi Nodera, Kentaro Moriya

International Journal of Applied Science and Computations 7 ( ２ ) 87-95 2000.08

Research paper (scientific journal), Joint Work, Accepted

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BiCGStab(&#8467;) algorithm is one of iterative methods to solve large and sparse nonsymmetric linear systems of equations. It stabilizes the residual norm of BiCG (bi-conjugate gradient) algorithm by adapting &#8467; degree MR (minimal residual) polynomial. When the degree of MR polynomial &#8467;
becomes larger, the convergence of residual norm will be better.　However, the computational cost will be increased.
Sleijpen and van der Vorst proposed the BiCGStab(&#8467;) algorithm with varying &#8467;, when a breakdown of the algorithm occurs. But conventional BiCGStab(&#8467;) algorithm often costs effective rather than their algorithm.
In this paper, it is both of when the norm of residual stagnates and the breakdown　is likely to occur, the BiCGStab($ell$) algorithm for varying &#8467;in adaptation is proposed. At last, this algorithm is implemented on the　distributed memory machine Fujitsu AP3000 and the numerical examples are given.

DGMRES(m,k) method with sparse approximate iverse preconditioning for solving nonsymmetric linear systems on Origin 2000

Takashi Nodera, Fuminori Ohsawa

World CSCC Conference (World Scientific and Engineering Society)     77-83 2000.07

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work, Accepted

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DQGMRES(k) method for solving nonsymmetric linear system
of equation is generally used with truncated procedure to reduce storage requirements and orthogonalization costs.
However, the truncated version sometimes slows down the convergence of algorithm in order to use incomplete orthogonalization. By using the restart technique, we proposethe DQGMRES(m,k) method which improves the convergence of residual norm. At last, the results of numerical experiments show that DQGMRES(m,k) method with an approximate inverse preconditioning gives a more robust algorithm than the other schemes.

左前処理行列を適応的に決定するGMRES(m)法の有効性について

Hiroo Suzuki, Takashi Nodera

情処研報 (情報処理学会HPC研究会)  2000 ( 57 ) 51-56 2000.05

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work

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大型で疎な非対称正則行列を係数とする連立1次方程式の反復解法の1つとして，GMRES(m)法がある．この算法はリスタートを行なうことによって，記憶容量や計算時間を軽減しているが，このことが原因で近似解を構成するために必要な固有ベクトルの情報を失い，算法の収束性に悪影響を及ぼすことがある．そこで，本稿では近似不変部分空間を用いて固有ベクトルの情報を付加するような左前処理行列を適応的に決定し，収束性を改善させる算法について述べ，並列計算機(Origin2000)での数値実験によりその有効性を検証する．

DQGMRES(m,k)法とその前処理

Fuminori Ohsawa, Takashi Nodera

情処研報 (情報処理学会HPC研究会)  1999 ( 103 ) 1-6 1999.12

Research paper (scientific journal), Single Work

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連立１次方程式の近似解法の中で，GMRES法の打ち切り版として知られるDQGMRES(k)法は，記憶容量や計算コストを軽減する算法である．しかし，この打ち切り版は，不完全直交化によってしばしば算法の収束性を悪化させる．そこで，本稿ではリスタートを利用して，残差の収束性を改善させるDQGMRES(m,k)法を提案する．数値実験によれば，適切な前処理を行なうDQGMRES(m,k)法は，他の算法と比較して記憶容量と計算コストを減少させることができる．

自動リスタートによるGMRES(m)法の高速化

Takashi Nodera, Naoto Tsuno

京都大学数理解析研究所「偏微分方程式とその周辺」共同研究集会 (京都大学数理解析研究所)   1999.11

Joint Work

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残差多項式のゼロ点を計算することによる自動リスタート型のGMRES(m)法の算法を提案し，並列計算機を用いた数値実験でその有効性を示した．

The Deflated-GMRES(m) method with switching the restart frequency Dynamically

Kentaro Moriya, Takashi Nodera

Linear Algebra and its Applications on Riken Symposium (The Institute of Physical and Chemical Research)     50 1999.11

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work

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In this paper, we propose an adaptive procedure that combines DEFLATED-GMRES(m.k) algorithm and the determination of a restart frequency m automatically. It is shown that a new algorithm combining elements of both will
reduce the negative effects of the restarted procedure.
The numerical experiments are presented on three test problems by using MIMD parallel machine AP3000. From these numerical results, we show that the proposed algorithm
leads to faster convergence than the conventional
DEFLATED-GMRES(m,k) method.

リスタート周期を動的に変えるGMRES(k)法について

Mitsuru Habu, Takashi Nodera

情処研報 (情報処理学会HPC研究会)  1999 ( 81 ) 7-12 1999.10

Research paper (scientific journal), Single Work

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リスタート付きのGMRES法であるGMRES(k)法は，リスタート周期の
取り方によって残差ベクトルのノルムの収束に影響を与えるため，
問題によってリスタート周期を適当に選ぶことが重要である．
GMRES(k)法のリスタート周期を動的に変化させる方法の一つに
Sosonkinaらによって提案されたAdaptive GMRES(k)法があるが，リスタート周期を増やす処置しかないために問題によっては計算時間が必要以上にかかり適当でない．そこで本稿では，Adaptive GMRES(k)法を基本算法とし，リスタート周期を減らす過程を加えた算法を提案する．

An Improvement of the Convergence of ORTHOMIN(k) Algorithm by using Adaptive Restarts

Takashi Nodera, Naoto Tsuno

Iterative Methods in Scientific Computation IV (IMACS)     99-108 1999.06

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work, Accepted,  ISSN  1098-870X

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The ORTHOMIN(k) method, a truncated version of
the GCR (generalized conjugate residual) method,
has been widely used for solving large and sparse
nonsymmetric linear systems of equations Ax=b.
In order to accelerate the convergence of the
ORTHOMIN(k) method, we usually use the
restarting technique. But, it is not so easy to find out the restarting timing of its algorithm.
In this paper, we will propose the adaptive restarted
procedure which will detect the restarting timing of
the ORTHOMIN(k) method automatically.

適応的に&#8467;を変化させるBiCGStab(&#8467;)法

Kentarou Moriya, Takashi Nodera

情報処理学会論文誌 40 ( 6 ) 2669-2678 1999.06

Research paper (scientific journal), Joint Work, Accepted

Parallelization of ILU decomposition for elliptic boundary value problem of PDE on AP3000

Moriya Kentaro, NODERA TAKASHI

Lecture Note on Computer Science (ISHPC'99)     344-353 1999.05

Research paper (conference, symposium, etc.), Single Work

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偏微分方程式の境界値問題の離散化行列に対する前処理を
並列計算機AP3000上で効率よく実装する手法について述べた論文である.

早期リスタートによるGMRES(m)法の高速化

Naoto Tsuno, Takashi Nodera

情報処理学会論文誌 40 ( 4 ) 1760-1773 1999.04

Research paper (scientific journal), Joint Work, Accepted

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Krylov部分空間法の一つの算法としてGMRES(m)法がある。GMRES(m)法は、リスタートを行うことで残差ノルムの収束を改善する算法である。しかし、従来、このリスタート時期を決定することはユーザが問題に応じて、適当に決定していた。本論文は、このリスタートを適応的に行う手法を、残差多項式のゼロ点を計算することで可能にしたものである。特に、GMRES(m)法の最適な収束がほぼ期待できることを理論的な概念で示し、さらに数値実験を通してその有効性を示したものである。14頁

適応的なリスタートを用いたORTHOMIN（ｋ）法

Naoto Tsuno, Takashi Nodera

情報処理学会論文誌 40 ( 3 ) 1350 -1353 1999.03

Research paper (scientific journal), Joint Work, Accepted

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GCR法（一般共役残差法）の打ち切り版であるORTHOMIN(k)法は，大規模で疎な非対称行列を係数とする連立1次方程式$Ax=b$の
反復解法として広く利用されている．ORTHOMIN(k)法の収束を加速するためにはリスタート技法を用いるのだが，そのタイミングを
見つけるのは簡単なことではない．本稿では，ORTHOMIN(k)法の算法をリスタートするタイミングを自動的に決定する適応的なリスタート技法を提案する．最後に，これらの算法を分散メモリ型並列計算機AP3000に実装し，その数値実験の結果について述べる．

適応的なリスタートを用いたORTHOMIN(k)法

津野 直人， 野寺 隆

情報処理学会論文誌 40 ( 3 ) 1350-1353 1999

Research paper (scientific journal), Joint Work, Accepted

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CGR法の打ち切り版であるORTHOMIN（ｋ）法は，大規模で疎な非対称行列を係数とする連立１次方程式の反復解法として広く利用されている．本論文は，収束を加速するリスタートのタイミングを自動的に決定する技法を提案したものである． 4 頁.

AP3000における不完全LU分解の並列化の一考察

Takashi Nodera, and Kentaro Moriya

月刊地球/東京大学地震研究所共同研究集会「大規模計算と並列計算」 (海洋出版株式会社/東京大学地震研究所)  20 ( 12 ) 773-777 1998.12

Research paper (scientific journal), Joint Work

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不完全LU分解を前処理とする反復解法は、楕円型偏微分方程式の離散化から選られる連立１次方程式の有功な算法である.この前処理を非定常反復法とカップリングして、分散メモリ型の並列計算機への効果的な実装について、数値実験と共に述べたものである.

デフレーションを前処理とするGMRES(m)法

Kentarou Moriya, Takashi Nodera

京都大学数理解析研究所「数値計算における前処理」研究集会 (京都大学数理解析研究所)   ( 1084 ) 72－86 1998.11

Research paper (bulletin of university, research institution), Joint Work

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GMRES(m)法は，非対称で大型の係数行列を持つ連立1次方程式の反復解法の一つである．しかし，反復の途中でのリスタートによって，近似解を構成するための固有ベクトルの情報が欠落し，精度のよい解が構成できないことがある．本稿では，固有ベクトルの情報を付加する３つのGMRES(m)法について考察し，それらの算法の性能を分散メモリー型の並列計算機AP3000を使って評価する．

Deflation を用いたGMRES(m)法の収束性について

Hideaki Takashino, Kentaro Moriya, Takashi Nodera

情処研報 (情報処理学会HPC研究会)  1998 ( 93 ) 31-36 1998.10

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work

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GMRES(m)法は非対称行列系の反復解法としてよく用いられる算法であるが，リスタート時に近似解を構成するための固有ベクトルの情報を欠落させることがある．そこで，リスタートを行う前の固有ベクトルの情報を次の反復に反映させる算法を提案し，数値実験によりその算法の有効性について述べる．

Parallelization of incomplete LU decomposition with regards to 2 and 3 dimension problems on AP3000

Kentaro Moriya, Takashi Nodera

Proceedings of the 8th International Parallel Computing Workshop (School of Computing, National University of Singapore, Fujitsu Computers(Singapore) Pte Ltd)     P1-O-1--6 1998.09

Research paper (conference, symposium, etc.), Single Work

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We propose the algorithm that decreases the communication
overhead on the block divide method and the method that determines the appropriate block number. We have implemented BiCGStab(&#8467;) method with an ILU preconditioner based on our approach on the distributed memory parallel computer AP3000. We also analyze the performance of parallelism in the operation of ILU preconditioner throughout the numerical experiments.

The parallelization of the incomplete LU Factorization on AP1000

Takashi Nodera， Naoto Tsuno

Euro-Par'98、Parallel Processing (Springer)   ( 1470 ) 788-792 1998.09

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work, Accepted,  ISSN  0302-9743

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This paper presents a data distribution and a communication
scheme for the parallelization of the preconditioner
based on the incomplete LU factorization, for
solving a large sparse sets of equation Ax=b.
The parallel performance tests of the preconditioner,
using BiCGStab(&#8467;) and GMRES(m) method,
are carried out on a distributed memory
parallel machine AP1000. The numerical results show
that the preconditioner based on the incomplete LU factorization can be used even for MIMD parallel machines.

The adaptive restarted procedure for ORTHOMIN(k) algorithm

Takashi Nodera, Naoto Tsuno

VECPAR'98 (Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto)  2   507-518 1998.07

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work, Accepted

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In this paper, we will propose the adaptive restarted
procedure which will find the restarting timing of the
ORTHOMIN(k) automatically. At last, numerical experiments
are given to show the efficacy of the adaptive restated
procedure combined with ORTHOMIN(k) method on a distributed memory parallel machine AP1000.

離散格子上でのCahn-Hilliard方程式におけるパターン形成

野口 雄一郎， 谷 温之， 野寺 隆

情報処理学会論文誌 39 ( 7 ) 2049-2059 1998.07

Research paper (scientific journal), Joint Work, Accepted

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Cahn-Hillaiard 方程式の新しい数値解法のアプローチを用いて， 形成されるパターンについて解析と並列計算機を用いた数値実験を行った.

Adaptive BiCGStab(&#8467;) algorithm with varing &#8467;

Takashi Nodera, Kentaro Moriya

Advances in Scientific Computing & Mathematical Modeling (IMACS，and Univ. of Alicante)     34-39 1998.06

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work, Accepted

　View Summary

In this paper, it is both of when the norm of residual stagnates and the breakdownis likely to occur, the BiCGStab(&#8467;) algorithm for varying &#8467;in adaptation is proposed.
At last, this algorithm is implemented on the distributed memory machine Fujitsu AP3000 and the numerical examples are given.

離散格子上での非線形拡散方程式における安定なパターンについて

Yuuichirou Noguchi, Atsusi Tani, and Takashi Nodera

京都大学数理解析研究所「数値計算在アルゴリズムの研究」共同研究集会 (京都大学数理解析研究所)   ( 1040 ) 188-196 1998.04

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work

　View Summary

Cahn-Hilliard方程式の安定解を並列計算機AP1000を使って求めた場合に、その解の挙動について数値実験と解析により証明を行った．

A note on BiCGStab(&#8467;) algorithm

Takashi Nodera, Youichirou Noguchi

Iterative Methods in Scientific Computation III (IMACS)     53-58 1998.04

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work, Accepted,  ISSN  1098-87x

　View Summary

For solving large and sparse nonsymmetric linear systems of
equations Ax=b, BiCGStab method is known as one of the product type　of iterative solvers. Recently, the BiCGStab2 and GP-BiCG have been proposed.　The BiCGStab($ell$) method, which was proposed by G. L. G. Sleijpen
and D. R. Fokkema, is generalized by these methods. In this paper, the authors compare the parallel performance
of the BiCGStab variants on a MIMD machine AP1000. Results obtained from the numericalexperiments show that the
BiCGStab(&#8467;) is an effective iterative
solver and suitable for parallel computing.

A note on adaptive restarting procedure

Takashi Nodera, Takatoshi Inadu

Scientific Computing (Hong Kong Baptist University, and the Chinese University of Hong Kong)     265-272 1997.11

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work, Accepted

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疑似残差法の自動リスタートの算法の理論的な面の解析とその数値実験について述べた． 8頁 （pp．265-272)．

AP1000におけるBiCGStab(&#8467;)法の有効性について

Takashi Nodera, Yuichirou Noguchi

情報処理学会論文誌 38 ( 11 ) 2089-2101 1997.11

Research paper (scientific journal), Joint Work, Accepted

　View Summary

非定常反復解法としてＢｉＣＧＳＴａｂ（ｌ）法がＢＣＧ法系の算法の中ではもっとも優秀であり，その有効性を並列計算機AP1000を用いて実証した. 13頁.

Farst Encording methods of fractal cording

Shinji Togashi, Masaaki Ikehara, Takashi Nodera

情報処理学会論文誌 38 ( 1 ) 64-72 1997.01

Research paper (scientific journal), Joint Work, Accepted

　View Summary

三角形に要素分割した領域の重心に代表値を置くことによりフラクタル画像圧縮のスピードを驚異的に向上させる算法を考案した．

適応的なリスタートを用いた疑似残差法

Takatoshi Inazu, Takashi Nodera

情報処理学会論文誌 37 ( 9 ) 1637-1645 1996.09

Research paper (scientific journal), Joint Work, Accepted

　View Summary

大型の連立１次方程式の解法の一つに疑似残差法と呼ばれるものがあるが、その収束はそれほど速いものではない．しかし，算法をリスタートさせると、収束は一段と向上することを見つけることができた．そこで疑似残差法で収束を加速するリスタートポイントを自動的に決定する算法を開発した. 9頁．

リスタートによる疑似残差法の収束性の加速

Takashi Nodera, Takatoshi Inazu

情報処理学会論文誌 37 ( 6 ) 1237-1240 1996.06

Research paper (scientific journal), Joint Work, Accepted

　View Summary

非対称行列を係数とする連立１次方程式の基本算法の一つに疑似残差法があり， この算法にリスタートを併用すると疑似残差法の収束性が格段に向上することを数値例を用いて示した. 4頁．

共役勾配法の未解決問題

Takashi Nodera

京都大学数理解析研究所「科学技術計算の数値計算の理論と応用」共同研究集会 (京都大学数理解析研究所)   ( 944 ) 156-164 1996.04

Research paper (conference, symposium, etc.), Single Work

　View Summary

一般共役勾配法のクラスに属する疑似残差法の収束を改善するには、リスタートがもっとも簡単な解決方法であることを数値実験と共に示した．10頁（pp．156-165)

オペレータ係数法について

Takashi Nodera

京都大学数理解析研究所「数値計算アルゴリズムの現状と展望」研究集会 (京都大学数理解析研究所)   ( 880 ) 53-58 1994.07

Research paper (bulletin of university, research institution), Single Work

　View Summary

非対称行列を係数とする連立１次方程式の非定常反復法の一つにＧＣＲ法がある．この解法はリスタート版と打ち切り版の二つに分類されるが、計算を行う上で必要とされるベクトル列以外に、多少関連するベクトルを余分に計算すると、反復法の収束を早めることができることを示した．6頁 （pp．53-58)

On unramified Galois extensions of certain algebraic number fields

Kenzo Komatsu, Takashi Nodera

Tokyo J. of Mathematics 16 ( 2 ) 351-354 1993.12

Joint Work

　View Summary

ガロア拡大体でのある整数のふるまいについて解析と計算で証明を行った. 4頁.

疎行列解法概観

Takashi Nodera

京都大学数理解析研究所「数値計算技術の基礎理論」共同研究集会 (京都大学数理解析研究所)   ( 832 ) 127-136 1993.04

Research paper (bulletin of university, research institution), Single Work

　View Summary

ニューテクノロジー時代向けの疎行列計算をどのようなアルゴリズムで行う必要があるのか．そのようなソフトウエアはどのようにすれば入手できるのか．BiCGStab法の有効性について、数値実験を利用して示した．

A note on Bi-CGStab algorithm

Takashi Nodera

Proceedings of the eighteenth South African Symposium on Numerical Mathematics (SANUM and The Dept. of Computer Science, University of Natal, Durban)     156-165 1992.07

Research paper (conference, symposium, etc.), Single Work

　View Summary

1次の加速多項式とBiCG法の残差ノルムの積に基づく積型算法であるBiCGSTab法の有効性について，数値実験をとおして収束性などについて述べた論文である．

LaTeX， AmSTeX ひと工夫

Takashi Nodera

京都大学数理解析研究所「数値解析とそのアルゴリズム」共同研究集会 (京都大学数理解析研究所)   ( 791 ) 189-196 1992.06

Research paper (bulletin of university, research institution), Single Work

　View Summary

文書整形システムのLaTeX、やAmSTeXを使用する場合に、マクロを少し使って、自分の使用するコマンドの定義変更をしてやると、より使いやすいものになることを、例題を交えて述べた．

計算を行うためのツール

Takashi Nodera

システム／制御／情報 (システム制御情報学会)  35 ( 11 ) 665-673 1991.11

Research paper (scientific journal), Single Work

　View Summary

数値計算を行う上で必要となるツールについて，数式処理関連のものから，スーパーコンピュータ関連のソフトウエアまで幅広く解説した．

文書整形システムAmS-LaTeXとは

Takashi Nodera

京都大学数理解析研究所「数値解析と科学解析」共同研究集会 (京都大学数理解析研究所)   ( 746 ) 261-274 1991.03

Research paper (conference, symposium, etc.), Single Work

　View Summary

AmS-LaTeXの紹介とコマンドの解説を行った．

パソコンの精度保証付き数値計算ソフトウエア

Takashi Nodera

情報処理 31 ( 9 ) 1228-1234 1990.09

Research paper (scientific journal), Single Work, Accepted

　View Summary

パソコンで利用可能な精度を保証する区間演算ソフトウエアPASCAL-SCについて数値実験を用いて、詳細な解析の解説を行った．

A remark on the conjugate gradient squared method

Takashi Nodera

Third International Symposium of Numerical Analysis in Spain (SIAN 3 ISAN)    1-7 1990.05

Research paper (scientific journal), Single Work

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We report on iterative algorithms for solving sparse indefinite systems of linear equations. We consider the projection type algorithms which based on the conjugate gradient like algorithm. We also give numerical experiments.

数値解析の道具箱

Takashi Nodera

京都大学数理解析研究所「数値解析と科学計算」共同研究集会 (京都大学数理解析研究所)   ( 717 ) 178-187 1990.03

Research paper (conference, symposium, etc.), Single Work

　View Summary

PCの大衆化により、従来大型計算機やワークステーションでのみ利用できなかったさまざまな計算ツールが利用可能になった．そのようなツールの使用方法など広範に解説したもの．

部分構造法とその応用

Takashi Nodera

情報処理 30 ( 7 ) 789-795 1989.07

Research paper (scientific journal), Single Work, Accepted

　View Summary

PCG法の応用として部分構造法を取り上げ，大型の構造物の部分分割に伴った前処理について解説を行った.

On the preconditioned bi-conjugate gradient like algorithms for solving nonsymmetric linear systems

Takashi Nodera

10th Symposium on Algoithms in Czechoslovakia (Algoritmy'89) (Jednota Solvenskych mathematikov A Fyzikov pri Sav spolu s Os-Ap kak pri Zs. Kr Csvts, Bratislava)     228-232 1989.04

Research paper (scientific journal), Single Work, Accepted

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非対称系の反復解法としてBiCG法の系列に属するCGS法の有効性について示した論文である．

Supercomputer oriented numerical algorithms for sparse matrix computation

Takashi Nodera

Trends in Supercomputing (Y. Kaneda and C. K. Yeun eds.) World Scientific (Japan Society of Promotion of Science)     73-87 1988.12

Research paper (conference, symposium, etc.), Single Work, Accepted

　View Summary

大型疎行列を係数とする連立１次方程式のいろいろな算法について比較研究を行った.

多項式の前処理によるPCG法とその応用

NODERA TAKASHI

数値計算の基本アルゴリズムとそのソフトウェアの研究 (京都大学数理解析研究所)     196-179 1988.03

Research paper (bulletin of university, research institution), Single Work

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チェビチェフ多項式に基づく行列の前処理の有効性を議論した論文である．

The CGS method for convective diffusion problem

Takashi Nodera

Computational Techniques and Applications (CTAC'87), North- Holland (Australian Mathematical Socirty, The University of Sydney and The University of Adelaide)     529-538 1988.03

Research paper (conference, symposium, etc.), Single Work, Accepted

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移流拡散問題に対するＣＧＳ法の有効性を検証した論文である．

Indefinite な行列系に対するCGS法

Takashi Nodera

京都大学数理解析研究所「数値計算の基本アルゴリズムとそのソフトウェアの研究」共同研究集会 (京都大学数理解析研究所)   ( 648 ) 169-179 1988.03

Research paper (conference, symposium, etc.), Single Work

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非正定置行列を係数とする連立１次方程式をPCG法で解くと、反復の途中でブレイクダウンを起こして、反復の続行が不能になることがある．そのような時にCGS法は意外と良い収束性をすることを実証した．

大型行列計算における反復解法

名取 亮， 野寺 隆

情報処理 (情報処理学会)  28 ( 11 ) 1452-1459 1987.11

Research paper (scientific journal), Single Work, Accepted

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スーパーコンピュータをターゲットとする大型疎行列系の反復解法についての解説を行った．

New variants of BCG method for solving nonsymmetric systems

Takashi Nodera

Advances in Computater Methods for Partial differential Equations VI (IMACS)     130-135 1987.06

Research paper (conference, symposium, etc.), Single Work, Accepted

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非対称行列系の反復解法として有力な， BCG法に基づくCGS法を提案し, 数値実験によりその有効性を示した論文である．

Data flow analysis of orthogonal properties on the conjugate gradient and Lanczos algorithm

Takashi Nodera

Numerical Mathematics and Applications 1 ( 1 ) 95-103 1986.03

Research paper (scientific journal), Single Work, Accepted

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疎な対称行列を係数とする連立１次方程式の反復解法の一つに共役勾配法をあげることができる．この算法は，残差ベクトルと方向ベクトルの直交性と共役性に基づく解法であり， 線形方程式の解法としての共役勾配法と固有値問題の解法としてのLanczos法の直交性に関する理論的な解析をデーフローを用いて行った論文である. 9頁

ランチョス法その後

MAKOTO NATORI, NODERA TAKASHI

「並列数値計算アルゴリズムとその周辺」研究集会 (京都大学数理解析研究所)     275-293 1986.02

Single Work

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ランチョス法で生成された直交ベクトルを適切に選んで
再直交化を行うことで，固有値の精度
を高める技法を提案した．

Data flow analysis of the conjugate gradient and of the Lanczos methods

Takashi Nodera

11th IMACS World Congress System simulation and Scientific Computation (IMACS)  3   137-140 1985.08

Research paper (conference, symposium, etc.), Single Work, Accepted

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共役勾配法の直交性の解析をＬａｎｃｚｏｓ法に適用し数値実験により直交性の崩れを示した論文ある．

Petrov-Galerkin法とoblique projection 法について

Takashi Nodera

京都大学数理解析研究所「大型の線形計算に関するアルゴリズム」共同研究集会 (京都大学数理解析研究所)   ( 548 ) 1-16 1985.02

Research paper (conference, symposium, etc.), Single Work

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現在までにさまざまな非対称行列を係数とする連立１次方程式を解く算法が提案されているが、それらはすべて、Petrov-Galerkin法とoblique projection法のどちらかのクラスに分類されることを示した論文である．

PCG method for solving four colored finite difference scheme

Takashi Nodera

Advances in Computater Methods for Partial differential Equations V (IMACS)     222-228 1984.06

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work, Accepted

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偏微分方程式の境界値問題の領域を差分法で格子分割し、それを４色に塗り分けできあがった行列に対するPCG法の有効性を数値実験を投して検証した．

Preconditioned conjugate gradient algorithm for nonsymmetric matrix

Hidetosi Takahasi, Takashi Nodera

Scientific Computing, North Holland    173-181 1983.06

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work, Accepted

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大型で疎な非対称行列を係数とする連立１次方程式の反復解法に前処理付き一般共役勾配法をあげることができる． この算法は前処理をどのように行うかでさまざまな新しい算法を構成することができる．本露文は一般CG法の非対称行列系での算法のバリエーションについて述べた.

疎行列に対するＰＣＧ法

Takashi Nodera

Seminar on Mathematical Science  ( ７ ) 92 1983.01

Research paper (other academic), Single Work

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PCG法のさまざまなアルゴリズムとそれらの算法の有効性について述べたものである．

Preconditioned conjugate gradient algorithm for nonsymmetric matrix

Hidetosi Takahasi, Takashi Nodera

10th IMACS World Congress System Simulation and Scientific Computation (IMACS)  1   104-107 1982.08

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work, Accepted

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PCG法の非対称行列系への応用について、各算法の利点と欠点をあげ各々の前処理としての有効性についてべた．4頁 （PCG法の非対称行列系への応用について、各算法の利点と欠点をあげ各々の前処理としての有効性についてべた．

偏微分方程式対するPCG法について

Hidetoshi Takahashi, and Takashi Nodera

京都大学数理解析研究所「応用科学における偏微分方程式と数値解析」共同研究集会 (京都大学数理解析研究所)   ( 462 ) 81-95 1982.06

Research paper (bulletin of university, research institution), Joint Work

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楕円型の偏微分方程式の境界値問題を離散近似すると大型の疎行列を持つ連立１次方程式が得られるが、それを高率的に解くPCG法の算法と数値実験について述べた．

Preconditioned conjugate gradient algorithm for solving biharmonic equation

Hidetosi Takahasi, Takashi Nodera

Advances in Computater Methods for Partial differential Equations　IV (IMACS)     54－60 1981.06

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work, Accepted

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前処理共役勾配法を重調和方程式に応用した場合に、新しい前処理方法について提案した．

New variants of the conjugate gradient algorithm

Hidetosi Takahasi, Takashi Nodera

Numerical Methods for Engineering 2 (G.A.M.N.I.2 (Gruope pour I'Avancement des Methodes numeriques de I'Ingenieur)     (209-219 1980.12

Research paper (conference, symposium, etc.), Joint Work, Accepted

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行列の前処理と共役勾配法を併用した算法の応用と数値実験例を示した.

行列問題に対するランチョス法と共役勾配法

高橋 秀俊、 野寺 隆

京都大学数理解析研究所講究録 No．373．    117-132 1979.12

Research paper (bulletin of university, research institution), Single Work

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大型線形問題を解く共役勾配法と固有値問題の算法であるランチョス法は、数学的に等しい算法でありそれぞれの丸め誤差の伝播について物理的に解析を行った．１6頁 （pp．117-132）